压轴题04 圆的综合压轴题（4题型）-2024年中考数学压轴题专项训练（浙江专用）

压轴题04 圆的综合压轴题 01 圆中长度、角度的综合 圆的基本性质相关综合题解题秘籍： 圆中求长度，垂径＋勾股；圆中求角度，同弧或等弧； 圆的综合问题，和那个图形结合，就多想所结合图形的性质与圆的性质； 1．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 　 　．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE＝EF，则题字区域的面积为 　　． 2．（2023•杭州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点G（不与点O，B重合），连接OF． （1）若BE＝1，求GE的长． （2）求证：BC2＝BG•BO． （3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论． 02 圆与切线的综合 圆与切线综合题解题要点： 有切线必有直角，有直角三角形，求长度则多想勾股定理及与直角三角形有关的相似； 1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为 　 　． 2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置．如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D． （1）如图1，当AB＝6，弧BP长为π时，求BC的长； （2）如图2，当，时，求的值； （3）如图3，当，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出的值． 03 圆与最值问题 圆与最值问题必备知识： 一、构造辅助圆的常用方法: ①定义法:到定点的距离=定长 即:同一平面内4个点到某一定点的距离相等(3个点也可证共圆) ②定边对直角(原理:直径所对的圆周角=90°) 特例:有公共斜边的两个直角三角形,必满足四点共圆 ③定边对定角(原理:同弧所对的圆周角相等) ④对角互补的四边形,4个顶点满足四点共圆 特例:矩形、正方形的4个顶点必四点共圆 ⑤“蝴蝶形”相似的4个顶点必满足四点共圆 ⑥瓜豆原理之圆生圆 二、圆与圆外定点的最值求法: 如图：则AP最小值=OA-r；AP最大值=OA+r 1．（2023•浙江）一副三角板ABC和DEF中，∠C＝∠D＝90°，∠B＝30°，∠E＝45°，BC＝EF＝12．将 它们叠合在一起，边BC与EF重合，CD与AB相交于点G（如图1），此时线段CG的长是 　 　．现将△DEF绕点C（F）按顺时针方向旋转（如图2），边EF与AB相交于点H，连结DH，在旋转0°到60°的过程中，线段DH扫过的面积是 　 　． 2．（2023秋•清江浦区期中）如图，矩形ABCD的边AB＝8，AD＝6，M为BC的中点，P是矩形内部一动点，且满足∠ADP＝∠PAB，N为边CD上的一个动点，连接PN，MN，则PN+MN的最小值为 　 　． 3．（2023秋•广汉市校级月考）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝3，E是AC的中点，M、N分别是边AB、BC上的动点，D也是BC边上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接ED交⊙O于F，连接FM，MN，则FM+MN的最小值为 　　． 04 圆的综合应用 1．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于⊙O，D为BC的中点，连结AD并延长交⊙O于点E，连结BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG＝∠AFC． （1）求∠BGC的度数． （2）①求证：AF＝BC． ②若AG＝DF，求tan∠GBC的值． （3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长． 2．（2023•浙江）已知，AB是半径为1的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD＝AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH＞BH，CH＞DH）． （1）在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AD，猜想：当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由；若不变，求出AD的长度； （3）如图2，延长AH至点F，使得HF＝AH，连结CF，∠HCF的平分线CP交AD的延长线于点P，点M为AP的中点，连结HM．若PD＝AD，求证：MH⊥CP． 3．（2023•丽水）如图，在⊙O中，A