数学（三）-2024年高考考前20天终极冲刺攻略（新高考新题型专用）

目 录 contents （三） 复数（选填题）…………………………………………………………………03 函数与导数（选填题）…………………………………………………………15 不等式（选填题）………………………………………………………………39 球（选填题） …………………………………………………………………53 数列、统计与概率（解答题）…………………………………………………71 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 复数（选填题） 年份 题号 知识点 考点 2021年I卷 2 复数 ①共轭复数的表示 ②复数的乘法运算 2021年II卷 1 复数 ①复数分式的化解 ②标准形式对应点所在象限 2022年I卷 2 复数 ①共轭复数的表示 ②复数的乘法运算 2022年II卷 2 复数 复数的乘法运算 2023年新高考1 2 复数 ①共轭复数的表示 ②复数分式的化解 2023年新高考2 1 复数 ①标准形式对应点所在象限 ②复数的乘法运算 近三年，复数在选填中占据一个位置，考查的考点一般来说是： 1、 复数的概念（①虚部的探究②复数相等求参及范围问题③复数的几何意义象限问题④复数的模及其应用） 2、复数的四则运算（①复数形式的加、减运算②复数模最值问题秒杀③复数形式的乘除法运算（分数形式秒化解）④复数范围内解方程（结论）） 题干的设置一般来说在上述的两项考点中选其一项。复数需要认真分析，明确复数是一类重要的运算对象，即一对有序实数，复数有三种表达形式，复数与复平面内的点一一对应，计算时注意虚部的正负以及分式形式模长的快速求算，此类题目需要一定的基础和秒杀技巧便可轻松搞定。 复数在2024新高考新题型中的考查形式依然以选择或者填空为主，以考查基本概念和核心方法为主，复数在选填中偏重于多选，抽象复数需要设一个标准格式参与求算，考生可适当留意常见的复数乘积组合形式，切记复数不能比较大小. 一、虚部的探究 Ⅰ：虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． 注意：是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； Ⅱ：复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位． Ⅲ：复数的分类（纯虚数及纯实数） 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： Ⅳ：共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 形如： 二、复数相等求参及范围问题 Ⅰ：两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 特别地：． ①根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． ②一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． Ⅱ：复数相等问题的解题策略 ①必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． ②根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题． ③如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 三、复数的几何意义象限问题 复数的几何意义 Ⅰ：复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 注意：实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． Ⅱ：复数集与复平面内点的对应关系 复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点与之对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 故 四、复数的模及其应用 Ⅰ：复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． Ⅱ：计算模长的步骤： 第一步：根据题干已知条件将复数化为标准形式 第二步：标出坐标形式（模长即为坐标到坐标原点的距离） 第三步：勾股定理 五：复数形式的加、减运算 Ⅰ：复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 注意：复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样．很明显， 两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形． Ⅱ：复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 技巧：两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 复数模最值问题秒杀 Ⅰ：工具 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量．