第三章 专题三 概率与统计（课件PPT）-【艺考生】2024年新高考文化课冲刺点金数学

艺考生 数学 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 专题三 概率与统计 高考命题主要考查以下两点: 1.概率与统计包括随机事件、等可能性事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,古典概型,几何概型,抽样方法,总体分布的估计,回归分析,独立性检验,正态分布等. 2.在高考试卷中,概率与统计的内容每年都有所涉及,问题以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,考查对概率事件的识别及概率计算.解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必然思想的运用. 历年高考命题分析 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【近7年新课标卷考点统计】 试卷类型 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 全国卷(甲卷) 12 12 12 12 12 12 12 全国卷(乙卷) 12 12 12 12 12 12 12 新高考全国Ⅰ卷          12 12 12 新高考全国Ⅱ卷          12 12 12 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 典例解析 【例1】　从某学校的800名男生中随机抽取50名测量身高,被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与第八组人数相同,第六组的人数为4. (1)求第七组的频率; (2)估计该校的800名男生的身高的众数与中位数以及身高在180 cm以上(含180 cm)的人数; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有 男生中随机抽取两名男生,求抽出的两名 男生是在同一组的概率. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】(1)因为第六组的频率为=0.08, 所以第七组的频率为 1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】(2)由图可知,估计该校800名男生的身高的众数为(175+180)÷2=177.5; 身高在第一组[155,160)的频率为0.008×5=0.04, 身高在第二组[160,165)的频率为0.016×5=0.08, 身高在第三组[165,170)的频率为0.04×5=0.2, 身高在第四组[170,175)的频率为0.04×5=0.2, 由于0.04+0.08+0.2=0.32<0.5,0.04+0.08+0.2+0.2=0.52>0.5, 估计这所学校的800名男生的身高的中位数为m,则170<m<175. 由0.04+0.08+0.2+(m-170)×0.04=0.5得m=174.5, 所以可估计这所学校的800名男生的身高的中位数为174.5; 由直方图得后三组频率为0.06+0.08+0.008×5=0.18, 所以估计身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为0.18×800=144. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】(3)第六组[180,185)的人数为4,设为a,b,c,d, 第八组[190,195]的人数为2, 设为A,B, 则从中抽两名的情况有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB共15种, 其中抽出的两名男生是在同一组的有ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB共7种情况, 故抽出的两名男生是在同一组的概率为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【例2】　某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查,并用茎叶图表示30人的饮食指数(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主) 甲(50岁以下)   乙(50岁以上) 1 2 0　1　5　6　7　6   3 2　3　7　9　6 5　3 4 4　5　2 8 5 8   6 1 6　7　8　4 7 5　8 5　3　2 8   0 9   书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (1)根据茎叶图,帮助这位学生说明其亲属30人的饮食习惯; 【解析】(1)该学生30名亲属中, 50岁以下的人中, 有的人的饮食以肉类为主,的人的饮食以蔬菜为主; 50岁以上的人中, 只有的人的饮食以肉类为主,的人的饮食以蔬菜为主. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (2)根据以上数据完成下列2×2的列联表;   主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下       50岁以上       合计       【解析】(2)列联表如下所示.   主食蔬菜 主食肉类 合计 50岁以下 4 8 12 50岁以上 16 2 18 合计 20 10 30 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (3)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关,并写出简要分析. 【解析】(3)假设H0:该学生其亲属的饮食习惯与年龄无关, 则K2==10≥6.635. ∵P(K2≥6.635)=0.01, ∴有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【例3】　某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0. 【解析】(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=p2(1-p)18.因此f'(p)=[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2p(1-p)17(1-10p). 令f'(p)=0,得p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p∈(0.1,1)时,f'(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p0=0.1. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【例3】　某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. ①若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; ②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 【解析】(2)由(1)知,p=0.1. ①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数, 依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y. 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490. ②如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 考点训练 1.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(单位:个). (1)若n=19,求y与x的函数解析式; 解:(1)当x≤19时,y=200×19=3800; 当x>19时,y=200×19+500(x-19)=500x-5700. 所以y关于x的函数解析式为y=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(单位:个). (2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值; 解:(2)由柱状图知, 需更换的零件数不大于18的频率为=0.46, 不大于19的频率为0.46+=0.7,故n的最小值为19. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数(单位:个). (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件? 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(3)若每台机器在购机的同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买零件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(3800×70+4300×20+4800×10)=4000; 若每台机器在购机的同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买零件上的费用为4000元,10台的费用为4500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为×(4000×90+4500×10)=4050. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (1)求全班人数; 解:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2, 由频率分布直方图可知频率为0.008×10=0.08, 所以全班人数为=25. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (2)求分数在[80,90)之间的人数;并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; 解:(2)分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4, 即分数在[80,90)之间的人数为4. 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 2.某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题: (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生得分情况,在抽取的试卷中,求至少有一份分数在[90,100]之间的概率. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(3)将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4, [90,100]之间的2个分数编号为5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件有(1,2),(1,3),(1,4), (1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6), 共15个, 其中,至少有一个在[90,100]之间的基本事件有(1,5),(1,6),(2,5), (2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共9个, 故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是=0.6. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 3.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠的时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6　1.2　2.7　1.5　2.8　1.8　2.2　2.3　3.2　3.5 2.5　2.6　1.2　2.7　1.5　2.9　3.0　3.1　2.3　2.4 服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2　1.7　1.9　0.8　0.9　2.4　1.2　2.6　1.3　1.4 1.6　0.5　1.8　0.6　2.1　1.1　2.5　1.2　2.7　0.5 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? 解:(1)设A药观测数据的平均数为,B药观测数据的平均数为. 由观测结果可得 =×(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5)=2.3, =×(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2)=1.6. 由以上计算结果可得>,因此可看出A药的疗效更好. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好? A药   B药   0.     1.     2.     3.   解:(2)由观测结果可绘制如下茎叶图: 从以上茎叶图可以看出, A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上, 而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上, 由此可看出A药的疗效更好. A药   B药 6 0. 5　5　6　8　9 8　5　5　2　2 1. 1　2　2　3　4　6　7　8　9 9　8　7　7　6　5　4　3　3　2 2. 1　4　5　6　7 5　2　1　0 3. 2 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表:(单位:辆) 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A类轿车抽取10辆. (1)求z的值.   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 解:(1)设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得=, 所以n=2000,z=2000-100-300-150-450-600=400. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表:(单位:辆) 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A类轿车抽取10辆. (2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率;   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)设所抽样本中有m辆舒适型轿车, 因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本, 所以=,解得m=2, 也就是抽取了2辆舒适型轿车,3辆标准型轿车, 分别记作S1,S2;B1,B2,B3. 则从中任取2辆的所有基本事件为(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1), (S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3),共10个, 其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个:(S1,B1),(S1,B2), (S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2), 所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 4.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表:(单位:辆) 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中A类轿车抽取10辆. (3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.   轿车A 轿车B 轿车C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(3)样本的平均数为=×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4,8.6,9.2,8.7, 9.3,9.0这6个数,总的个数为8, 所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为=0.75. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 5.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7间工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18间工厂. (1)求从A,B,C区中分别抽取的工厂数量; 解:(1)工厂总数为18+27+18=63, 样本容量与总体中的个体数比为=, 所以从A,B,C三个区中应分别抽取的工厂数量为2,3,2. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 5.为了了解某工厂开展群众体育活动的情况,拟采用分层抽样的方法从A,B,C三个区中抽取7间工厂进行调查,已知A,B,C区中分别有18,27,18间工厂. (2)若从抽取的7间工厂中随机抽取2间进行调查结果的对比,用列举法计算这2间工厂中至少有1间来自A区的概率. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)设A1,A2为在A区中抽得的2间工厂,B1,B2,B3为在B区中抽得的3间工厂,C1,C2为在C区中抽得的2间工厂, 这7间工厂中随机抽取2间,全部的可能结果有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2),(B1,B2),(B1,B3),(B1,C1),(B1,C2),(B2,B3),(B2,C1),(B2,C2), (B3,C1),(B3,C2),(C1,C2)共21种, 随机抽取的2间工厂至少有一间来自A区的结果有(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,C1),(A1,C2),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,C1),(A2,C2)共11种.所以所求的概率为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 6.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: (1)在下图作出这些数据的频率分布直方图: 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 6.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 解:(2)质量指标值的样本平均数为==100, 质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38 +102×0.22+202×0.08=104, 所以这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值为104. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 6.从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表: (3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定? 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 频数 6 26 38 22 8 解:(3)依题意=68%<80%, 故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 7.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180), [180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图. (1)求直方图中x的值; 解:(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,得x=0.0075, 所以直方图中x的值是0.0075. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 7.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180), [180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图. (2)求月平均用电量的众数和中位数; 解:(2)月平均用电量的众数是=230, 因为(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5, 所以月平均用电量的中位数在[220,240)内,设中位数为a, 由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125·(a-220)=0.5得a=224, 所以月平均用电量的中位数是224. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 7.某城市100户居民的月平均用电量(单位:度),以[160,180), [180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分组的频率分布直方图如图. (3)在月平均用电量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四组用户中,用分层抽样的方法抽取11户居民,则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户? 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(3) 月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100=25(户), 月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100=15(户), 月平均用电量为[260,280)的用户有0.005×20×100=10(户), 月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100=5(户), 抽取比例==, 所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×=5(户). 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 8.袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个,现有放回地随机摸取3次,每次摸取一个球. (1)试问:一共有多少种不同的结果?请列出所有可能的结果; (2)若摸到红球时得2分,摸到黑球时得1分,求3次摸球所得总分为5分的概率. 解:(1)一共有8种不同的结果,列举如下:(红,红,红),(红,红,黑), (红,黑,红),(红,黑,黑),(黑,红,红),(黑,红,黑),(黑,黑,红),(黑,黑,黑). (2)记“3次摸球所得总分为5分”为事件A, 事件A包含的基本事件为:(红,红,黑),(红,黑,红),(黑,红,红), 事件A包含的基本事件数为3, 由(1)可知,基本事件总数为8,所以事件A的概率为P(A)=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 9.编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: 　(1)将得分在对应区间内的人数填入相应的空格; 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 区间 [10,20) [20,30) [30,40] 人数        4 6 6 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 9.编号为A1,A2,…,A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下: (2)从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人. ①用运动员的编号列出所有可能的抽取结果; ②求这2人得分之和大于50的概率. 运动员编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 得分 15 35 21 28 25 36 18 34 运动员编号 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 得分 17 26 25 33 22 12 31 38 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)①得分在区间[20,30)内的运动员编号为A3,A4,A5,A10,A11,A13. 从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有(A3,A4),(A3,A5),(A3,A10), (A3,A11),(A3,A13),(A4,A5),(A4,A10),(A4,A11),(A4,A13),(A5,A10),(A5,A11), (A5,A13),(A10,A11),(A10,A13),(A11,A13),共15种. ②“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于50”(记为事件B)的所有可能结果有(A4,A5), (A4,A10),(A4,A11),(A5,A10),(A10,A11),共5种. 所以P(B)==. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 10.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (1)从以上五张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; 解:(1)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种: (红1,红2),(红1,红3),(红1,蓝1),(红1,蓝2),(红2,红3),(红2,蓝1),(红2,蓝2), (红3,蓝1),(红3,蓝2),(蓝1,蓝2). 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况, 故所求的概率为P=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 10.袋中有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2. (2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片,从这六张卡片中任取两张,求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. 解:(2)加入一张标号为0的绿色卡片后,从六张卡片中任取两张, 除上面的10种情况外,多出5种情况:(红1,绿0),(红2,绿0),(红3,绿0), (蓝1,绿0),(蓝2,绿0),即共有15种情况, 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况, 所以概率为P=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 11.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为(a,b,c). (1)求“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率; 解:(1)由题意知,(a,b,c)所有的可能结果为:(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3), (1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3), (2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3), (3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种. 设“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”为事件A, 则事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种.所以P(A)==. 因此,“抽取的卡片上的数字满足a+b=c”的概率为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 11.一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为(a,b,c). (2)求“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率. 解:(2)设“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”为事件B, 则事件包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种. 所以P(B)=1-P()=1-=. 因此,“抽取的卡片上的数字a,b,c不完全相同”的概率为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 12.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下: (1)求第6位同学的成绩x6,及这6位同学成绩的标准差s; 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 解:(1)由(70+76+72+70+72+x6)=75,解得x6=90. 标准差为s= ==7. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 12.在某次测验中,有6位同学的平均成绩为75分.用xn表示编号为n(n=1,2,…,6)的同学所得成绩,且前5位同学的成绩如下: (2)从前5位同学中,随机地选2位同学,求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率. 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)前5位同学中随机选出的2位同学记为(a,b),a,b∈{1,2,3,4,5}且a≠b, 则基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10种. 这5位同学中,编号为1,3,4,5号的同学成绩在区间(68,75)中. 设A表示随机事件“从前5位同学中随机选出2位同学,恰有1位同学成绩在区间(68,75)中”, 则A中的基本事件有(1,2),(2,3),(2,4),(2,5),共4种.则P(A)==. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 13.某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表: (1)求y关于t的线性回归方程; 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(1)∵==4,==4.3, 根据回归方程公式,经计算得 ===, =-=4.3-×4=2.3, 所以y关于t的回归方程为y=0.5t+2.3. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 13.某地区2009年至2015年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表: (2)利用(1)中的回归方程,分析2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2016年农村居民家庭人均纯收入. 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)∵=>0, ∴2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长. 预计到2016年该区农村居民家庭人均纯收入y=0.5×8+2.3=6.3(千元), 答:预计到2016年,该地区农村居民家庭人均纯收入约为6300元. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:   (1)求回归直线方程=x+,其中=-20, =-; 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 解:(1)=×(8+8.2+8.4+8.6+8.8+9)=8.5, =×(90+84+83+80+75+68)=80, =+20=80+20×8.5=250. 则回归直线方程为=-20x+250. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 14.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:   (2)预计在今后的销售中,销量与单价仍然服从(1)中的关系,且该产品的成本是4元/件,为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少元?(利润=销售收入-成本) 单价x(元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y(件) 90 84 83 80 75 68 解:(2)工厂获得利润为z=(x-4)y=-20x2+330x-1000, 当x=8.25时,zmax=361.25(元). 答:为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为8.25元. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 15.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果. A配方的频数分布表 B配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 8 20 42 22 8 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 4 12 42 32 10 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (1)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率; 解:(1)由试验结果知, 用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3, 所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知, 用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42, 所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (2)已知用B配方生产的一件产品利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y=估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率,并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润. 解:(2)由条件知用B配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的频率为0.96, 所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96. 用B配方生产的产品平均一件的利润为 ×(4×(-2)+54×2+42×4)=2.68(元). 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 16.通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表. (1)从这50名女生中按是否看营养说明采取分层抽样,抽取一个容量为5的样本,问样本中看与不看营养说明的女生各有多少名? 性别与看营养说明列联表　单位:名   男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明 10 20 30 总计 60 50 110 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(1)根据分层抽样可得, 样本中看营养说明的女生有5×=3(名), 样本中不看营养说明的女生有5×=2(名). 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 16.通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表. (2)从(1)中的5名女生样本中随机选取两名作深度访谈,求选到看与不看营养说明的女生各一名的概率; 性别与看营养说明列联表　单位:名   男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明 10 20 30 总计 60 50 110 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)记样本中看营养说明的3名女生为a1,a2,a3, 不看营养说明的2名女生为b1,b2, 从这5名女生中随机选取两名,共有10个等可能的基本事件, 分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1), (a3,b2),(b1,b2). 其中事件A“选到看与不看营养说明的女生各一名”包含了6个基本事件:(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2). 所以所求的概率为P(A)==. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 16.通过随机询问某校110名高中学生在购买食物时是否看营养说明,得到如下的列联表. (3)根据以下列联表,问有多大把握认为“性别与在购买食物时看营养说明有关”? 性别与看营养说明列联表　单位:名   男 女 总计 看营养说明 50 30 80 不看营养说明 10 20 30 总计 60 50 110 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(3)假设H0:该校高中学生中,性别与在购买食物时看营养说明无关, 根据题中的列联表得K2=k==≈7.486, 由P(K2≥6.635)=0.010可知,有99%的把握认为该校高中学生“性别与在购买食物时看营养说明有关”. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 17.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时). (1)应收集多少位女生样本数据? 解:(1)因为由300×=90, 所以应收集90位女生的样本数据. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 17.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时). (2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:[0,2],(2,4], (4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率. 解:(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1-2×(0.100+0.025)=0.75, 所以该校学生每周平均体育运动时间 超过4小时的概率的估计值为0.75. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 17.某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时). (3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学   男生 女生 总计 每周平均体育运动时间不超过4小时 45 30 75 每周平均体育运动时间超过4小时 165 60 225 总计 210 90 300 (3)由(2)知,300位学生中有300×0.75=225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时,75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.又因为样本数据中有210份是关于男生的,90份是关于女生的,所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下: 提出假设H0:该校学生的每周平均体育运动时间与性别无关, 根据题中的列联表得K2==≈4.762>3.841. 由P(K2≥3.841)=0.05, 所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:吨)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. 表中wi=,=wi (xi-)2 (wi-)2 (xi-)(yi-) (wi-)(yi-) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d,哪一个适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); 解:(1)由散点图可以判断, y=c+d适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程; 解:(2)令w=,先建立y关于w的线性回归方程, 由于===68, ∴=-=563-68×6.8=100.6. ∴y关于w的线性回归方程为=100.6+68w, ∴y关于x的回归方程为=100.6+68. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x,根据(2)的结果回答下列问题: ①当年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? 解:(3)①由(2)知,当x=49时, 年销售量y的预报值=100.6+68=576.6, =576.6×0.2-49=66.32. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (3)已知这种产品的年利润z与x,y的关系为z=0.2y-x,根据(2)的结果回答下列问题: ②当年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大? 解:(3)②根据(2)的结果知, 年利润z的预报值=0.2(100.6+68)-x=-x+13.6+20.12, ∴当==6.8,即x=46.24时, 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时,年利润的预报值最大. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 19.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. 注:年份代码1~7分别对应年份2008年~2014年. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(1)由折线图中的数据和附注中参考数据得==4,==, (ti-)2=(1-4)2+(2-4)2+(3-4)2+(4-4)2+(5-4)2+(6-4)2+(7-4)2=28, =0.55,(ti-)(yi-)=tiyi-7·=40.17-7×4×=2.89, 相关系数r==≈≈0.99. 因为y与t的相关系数近似为0.99,说明y与t的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 19.如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图. 注:年份代码1~7分别对应年份2008年~2014年. (2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)由=≈1.331及(1)得==≈0.103, =-≈1.331-0.103×4≈0.92. ∴y关于t的回归方程为=0.92+0.10t. 将2016年对应的t=9代入回归方程得=0.92+0.10×9=1.82. ∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 20.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰.比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率; 解:(1)甲连胜四场,只能是前四场全胜,则P==. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 20.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰.比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (2)求需要进行第五场比赛的概率; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛. ∵比赛四场结束,共有三种情况. 甲连胜四场的概率为, 乙连胜四场比赛的概率为, 丙上场后连胜三场的概率为, ∴需要进行第五场比赛的概率为P=1---=. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 20.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下: 累计负两场者被淘汰.比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束. 经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. (3)求丙最终获胜的概率. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(3)设事件A为甲输,B为乙输,C为丙输, 则丙最终获胜的概率为 P=P(ABAB)+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+ P(ABCBA)+P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+ P(BCABA)+P(BCBAA) =×2+×10 =. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 21.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测.若为阴性,则可确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒. (1)①若采用“10合1检测法”,且两名患者在同一组,求总检测次数; 解:(1)①若采用“10合1检测法”,每组检查一次,共10次; 又两名患者在同一组,需要再检查10次, 因此一共需要检查20次. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 21.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测.若为阴性,则可确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒. (1)②已知10人分成一组,分10组,两名感染患者在同一组的概率为,定义随机变量X为总检测次数,求检测次数X的分布列和数学期望E(X); 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(1)②由题意可得X=20,30. P(X=20)=,P(X=30)=. 可得X的分布列: E(X)=20×+30×=. X 20 30 P 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 21.为加快新冠肺炎检测效率,某检测机构采取“k合1检测法”,即将k个人的拭子样本合并检测.若为阴性,则可确定所有样本都是阴性的;若为阳性,则还需要对本组的每个人再做检测.现有100人,已知其中2人感染病毒. (2)若采用“5合1检测法”,检测次数Y的期望为E(Y),试比较E(X)和E(Y)的大小.(直接写出结果) 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)由题意可得Y=25,30. P(Y=25)=20×=,P(Y=30)=. 可得Y的分布列: 因为E(Y)=25×+30×=>=, 所以E(X)<E(Y). Y 25 30 P 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 22.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? 解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2, 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人, 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 22.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. X 0 1 2 3 P 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 22.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. ②设事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”; 事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”, 则A=B∪C,且B与C互斥, 由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以事件A发生的概率为. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 23.为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率; 解:(1)由图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人, 所以从服药的50名患者中随机选出一人, 此人指标y的值小于60的概率为=0.3. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ); 解:(2)由图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==. 所以ξ的分布列为 故ξ的数学期望E(ξ)=0×+1×+2×=1. ξ 0 1 2 P 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 (3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论) 解:(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 24.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表); 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为 =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+ 220×0.08+230×0.02 =200, s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ 202×0.08+302×0.02 =150. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 24.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2. ①利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2); 解:(2)①由(1)知,Z~N(200,150), 从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.6826. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 24.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (2)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2. ②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用①的结果,求EX. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)②由①知, 一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826, 依题意知X~B(100,0.6826), 所以EX=100×0.6826=68.26. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 25.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望; 解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026, 故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408. X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 25.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性; 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026, 一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小. 因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查, 可见上述监控生产过程的方法是合理的. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 25.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 解:(2) ②由=9.97,s≈0.212, 得μ的估计值为=9.97,σ的估计值为=0.212, 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(-3, +3)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(-3, +3)之外的数据9.22, 剩下数据的平均数为×(16×9.97-9.22)=10.02, 因此μ的估计值为10.02. =16×0.2122+16×9.972≈1591.134, 剔除(-3, +3)之外的数据9.22, 剩下数据的样本方差为×(1591.134-9.222-15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为≈0.09. 书友图书 艺考生冲刺点金-数学 $$