专题11 圆与新定义结合型压轴题-2024年中考数学压轴题专项训练（湖南专用）

专题11 圆与新定义结合型压轴题专题（原卷版） 通用的解题思路： ①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。 ②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。 1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”． （1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有　 　； ②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形　 　“十字形”．（填“是”或“不是”） （2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围； （3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字形”ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为S1，S2，S3，S4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式； ①= ；②= ；③“十字形”ABCD的周长为12． 2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”. （1）如图2，△ABC的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”. （2）△ABC中，BC=9，，，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长. （3）如图3，△ABC是的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交于点D． ①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”. ②若的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出的值. 3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1：的三角形叫敬“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，△是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断△和△是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出的值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求的余弦值． 4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在中，为边上的中线，与相似，那么称为关于边的“华益美三角”．   (1)如图2，在中，，求证：为关于边的“华益美三角”； (2)如图3，已知为关于边的“华益美三角”，点是边的中点，以为直径的⊙恰好经过点． ①求证：直线与相切； ②若的直径为，求线段的长； (3) 已知为关于边的“华益美三角”，，，求的面积． 5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”． (1)如图1，已知是边上的中线，若，那么就是“华益三角”，中线是的“华益中线”，边就是的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”； (2)如图2，已知在中，，求证：是“华益三角”； (3)如图3，已知是“华益三角”，边是的“华益边”，的外接圆的半径是2． ①若是一个锐角，求的值； ②记，若，求的值． 6．（北雅）如图1，⊙O的半径为r（），若点在射线OP上，满足，则称点是点P关于⊙O的“反演点”． (1)若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为（    ） A．点A在⊙O内      B．点A在⊙O上      C．点A在⊙O外 (2)如图1，若⊙O的半径为4，点是点关于⊙O的“反演点”，且，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长． (3)如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且，点、分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点作且，连接，，求的最小值． 7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△和中，