安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期度期中考查 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 若复数是实数，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 不存在 2. 设、是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 与 C. 与 D. 与 3. 在中，角，，对应的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 5. 已知，为两个单位向量且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 如图，已知点是的重心，过点作直线分别与，两边交于，两点，设，，则的最小值为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 8. 在中，，，，是的垂心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A. 7 B. 14 C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确是（ ） A. 若直线与平面不平行，则与相交 B. 若直线上有两个点到平面的距离相等，则 C. 经过两条平行直线有且仅有一个平面 D. 如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，是复数，则 B. 若复数的共轭复数为， C. 虚轴上的点对应的均为纯虚数 D. 已知复数满足（为虚数单位），则的最小值是 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若为非零实数，且，则与共线 B. 已知向量，，若夹角为锐角，则的取值范围是 C. 若点满足，，，则 D. 若，，则点的轨迹一定通过的内心 12. 在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，点在对角线上，则（ ） A. 的最小值为 B. 三棱锥体积为 C. 点到平面的距离为 D. 四面体外接球的表面积为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知圆柱的轴截面为正方形且边长为4，则该圆柱的体积为______. 14. 在中，，则最大角的余弦值为______. 15. 已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为______. 16. 球面被平面所截得一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是.如图2，已知，是以为直径的圆上的两点，，，则扇形绕直线旋转一周形成的几何体的体积为______. 四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知向量，满足，. （1）若，求向量的坐标； （2）若，求向量与向量夹角的余弦值. 18. （1）已知复数，其中为虚数单位，求及； （2）若关于的一元二次方程的一个根是，其中，是虚数单位，求的值. 19. 如图，在中，，，，且，，与交于点. （1）求的值； （2）求的值. 20. 如图，在正方体中，棱长为，是线段的中点，设过点、、的平面与棱交于点. （1）画出平面截正方体所得截面，并求截面多边形的面积； （2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：） 21. 已知的内角的对边为，且. （1）求； （2）若面积为； （i）已知为的中点，求底边上中线长的最小值； （ii）求内角的角平分线长的最大值. 22. 在中，，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）奥古斯丁·路易斯·柯西（，年年），法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：对任意，，，有：，当且仅当时等号成立.求的最小值. 安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期度期中考查 高一数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，