精品解析：上海市建平中学2023-2024学年高一下学期期中教学质量检测数学试题

建平中学2023学年第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 注意事项： 1．除非题目有明确要求，否则答案取精确值，不取近似值： 2．如无特别说明，本试卷中i表示虚数单位． 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 复数的虚部是__________． 2. 复数在复平面内对应的点位于第__________象限 3. 化简__________． 4. 在正方形中，向量与向量夹角是__________．（用弧度制表示） 5. 若函数的最小正周期是，则的最小正周期是__________． 6. 设函数的一个对称中心是，则__________． 选考题：请在下列A，B两题中选择一题作答，并将你选择的题号写在答案前面 7. 设复数满足，则当取最大值时，对应的复平面上点的坐标是__________． 8. 在平面直角坐标系中，设是坐标原点，向量，将绕点顺时针旋转得到向量，则点的坐标是__________． 9. 作用于同一点的三个力平衡，已知，且与之间的夹角是，则的大小是__________． 10. 已知函数在区间上有且仅有5个零点，则的取值范围是__________． 11. 已知是平面向量，其中是单位向量，若非零向量与的夹角是，向量满足，则的最小值是__________． 12. 如图是函数的部分图象，其中点在轴上且过点的竖直线经过图象的最高点，是图象上一点，是线段与图象的交点，且，则点的纵坐标是__________． 13. 已知复数满足，复数满足，则复数对应复平面上的点构成区域的面积是__________． 二､单选题（每题3分，共12分） 14. 下列说法正确是（ ） A. 设则是纯虚数充要条件是 B. 复数与在复平面中对应的点分别在轴上方和下方 C. 设复数与满足，则 D. 若复数与满足，则 15. 在中，，，则角A的大小为（ ） A. B. 或 C. D. 或 16. 已知函数的对称中心到对称轴的最小距离为，将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称，且关于函数有下列四种说法： ①是的一个对称轴；②是的一个对称中心； ③在上单调递增；④若，则，． 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17. 如图，的三边长为，且点分别在轴，轴正半轴上移动，点在线段的右上方．设，记，分别考查的所有可能结果，则（ ） A. 有最小值，有最大值 B. 有最大值，有最小值 C. 有最大值，有最大值 D. 有最小值，有最小值 三､解答题（共52分） 18. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位. （1）求的值; （2）记复数，求复数的模. 19. 如图，在中，，点E为中点，点F为上的三等分点，且靠近点C，设. （1）用表示； （2）如果，且，求. 20. 如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米． (1) 若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和的长度分别为多少米？ (2) 在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？ 21 已知函数，满足 （1）求的值 （2）若存在，使得等式成立，求实数的取值范围； （3）若对任意都有恒成立，求实数的取值范围． 22. 将所有平面向量组成集合记作．如果对于向量，存在唯一的向量与之对应，其中坐标由确定，则把这种对应关系记为或者，简记为．例如就是一种对应关系．若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值． （1）如果，求； （2）如果，计算的特征值，并求相应的； （3）若，要使有唯一的特征值，实数应满足什么条件？试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 建平中学2023学年第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 注意事项： 1．除非题目有明确要求，否则答案取精确值，不取近似值： 2．如无特别说明，本试卷中i表示虚数单位． 一、填空题（每题3分，共36分） 1. 复数的虚部是__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】利用复数的相关概念求解. 【详解】解：因为复数， 所以复数的虚部是-1， 故答案为：-1 2. 复数在复平面内对应的点位于第__________象限 【答案】四 【解析】 【分析】利用复数的运算，得到的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点，从而判断出所在象