精品解析：上海市进才中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

上海市进才中学2023学年第二学期期中考试 数学学科试卷 （时间120分钟，满分150分） （2024年4月） 一、填空题（本大题满分54分）共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分． 1. 若，则n!＝___． 2. 已知随机变量服从二项分布，则__________. 3. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为______． 4. 已知，则的值为______． 5. 已知点在圆C：（）内，过点M直线被圆C截得的弦长最小值为8，则______． 6. 高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，如下图所示，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第百分位数为______． 7. 如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是___________. 8. 某校甲、乙两名女生进行乒乓球比赛，约定“七局四胜制”，即先胜四局者获胜．若每一局比赛乙获胜的概率为，事件表示“乙获得比赛胜利”，事件表示“比赛进行了七局”，则______． 9. 如图，棱长为1的正方体中，点为的中点，则下列说法正确的是____________. ①与为异面直线 ②与平面所成角正切值为 ③过三点的平面截正方体所得两部分的体积相等 ④线段在底面的射影长为 10. 某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过球），3个是旧球（即至少用过一次的球）.每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回.已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为____________. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作一条渐近线的垂线交双曲线的左支于点，已知，则双曲线的渐近线方程为_______． 12. 至少通过一个正方体的3条棱中点的平面个数为______． 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案． 13. 设，分别是平面，的法向量，直线的方向向量为，以下结论错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则或，重合 14. 已知点是抛物线的焦点，点，且点为抛物线上任意一点，则的最小值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 15. 有5张相同的卡片，分别标有数字，从中有放回地随机取两次，每次取1张卡片，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为2”，表示事件“第一次取出的卡片上的数字为奇数”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为6”，表示事件“两次取出的卡片上的数字之和为”，则（ ） A. 与为对立事件 B. 与为相互独立事件 C. 与为相互独立事件 D. 与为互斥事件 16. 下列结论正确有（ ） A. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 B. 的第80百分位数为96 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，，则 三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知的展开式中，第2项的系数与第3项的系数之比是. （1）求的值； （2）求展开式中的常数项. 18. 如图，在几何体中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． （1）求证：平面； （2）若PC与平面所成的角为，求点A到平面的距离． 19. 为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路．该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图： （1）试根据频率分布直方图，求的值以及样本中的这1000辆机动车的平均车速（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； （2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差（经计算）． （i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数（精确到个位）； （ii）现从经过该公路机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望． 附注：若，则，． 20. 如图，由部分椭圆和部分双曲线，组成的曲线称为“盆开线”．曲线与轴有两个交点，且椭圆与双曲线的离心率之积为． （1）设过点的直线与相切于点，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线的方程； （2）过的直线与相交于点三点，求证：． 21. 在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）