四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

仁寿一中南校区2023级高一下半期考试 数学科试题 2024年4月24日 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（    ） A． B． C． D． 2．sin53°cos23°－cos53°sin23°等于（   ） A． B．－ C． D． 3．点满足向量，则点与的位置关系是（ ） A．点在线段上 B．点在线段的延长线上 C．点在线段的反向延长线上 D．点在直线外 4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．计算（ ） A．4 B． C． D．2 6．在中，角所对的边分别为，向量，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 7．所在平面内一点满足，若，则（ ） A． B． C． D． 8．已知定义域为的函数是奇函数，且在上单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，是共线的单位向量，则 B．若，是相反向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 10.已知函数的图象是由函数的图象向左平移个单位得到（   ） A.的最小正周期为 B.在区间上单调递增 C.的图象关于直线对称 D.的图象关于点对称 11.已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 12.中，下列说法正确的是（   ） A．若，则为锐角三角形． B．若，则点的轨迹一定通过的内心． C．若为重心，则 D．若点满足，则 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 14.已知与是两个单位向量，且向量与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为________． 16.在中，角A，B，C所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知． （1）求的值； （2）求的值． 18．已知向量满足，，且. （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值. 19．在中，内角所对的边分别为，，，已知已知. （1）求角的大小； （2）若，，求的值； （3）若，判断的形状． 20．已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值. 21．在中，角，，的对边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，为边上的一点，，且________，求的面积． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题． ①是的平分线；②为线段的中点． （注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．） 22. 在△ABC中，已知，，，，Q为线段CA延长线上的一点，且. （1）当且，设PQ与AB交于点M，求线段CM的长； （2）若，求t的最大值 仁寿一中南校区高2023级高一下半期考试数学试卷答案 1-8 BACDCCBB 9.BC 10.AC 11.BCD 12.BCD 13. 14. 17．解：（1），解得； （2） 18．(1) (2) （1）因为，所以， 即，解得，若， 则， 即，即，解得. （2）因为， 又， 所以， 即与的夹角的余弦值为. 19（1）在中，由及余弦定理得，而， 所以. （2）由，及，得， 所以. （3）由及，得，则，由（1）知， 所以为正三角形. 20（1） ， 则函数的最小正周期为. （2）根据图象变换可得：. 令， 解得：， 则的单调减区间为. 令 则. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 且当时，；当时，；当时，. 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 21．【解析】（1）由正弦定理知，，， 代入上式得， ，，， ，． （2）若选①： 平分，， ，即． 在中，由余弦定理得， 又，， 联立得， 解得，或（舍去），． 若选②： ，， ，得， 在中，由余弦定理得，即， 联立可得，． 22(1)解：因为且，所以是的中点，是的中点，则M是的重心，设， 所以， ； 【小问2详解】 (2)因为，， 所以， ， ， ， 由，得：， 所以，因为，， 所以，， 令，