培优专题04 导数的综合应用（解答题，五大题型）-【查漏补缺】2024年高考数学复习冲刺过关专练（天津专用）

培优专题04 导数的综合应用 题型1 利用导数研究函数的恒成立 题型2 利用导数证明不等式 题型3 函数的零点问题 题型4 利用导数研究函数的图像与性质 题型5 利用导数研究双变量问题 题型一：利用导数研究函数的恒成立 1．（2021·天津宁河·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 2．（22-23高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若存在时，使成立，求的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 题型二、利用导数证明不等式 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与有三个公共点； ①求证：； ②求证：． 4．（2024·天津·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，若在的图象上有一点列，若直线的斜率为， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：． 题型三：函数的零点问题 5．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知函数．（注：是自然对数的底数）． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，函数在区间内有唯一的极值点． ①求实数a的取值范围； ②求证：在区间内有唯一的零点，且． 6．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知函数，且． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若，且存在三个零点，，． （i）求实数的取值范围； （ii）设，求证：． 题型四：利用导数研究函数的图像与性质 7．（21-22高三下·天津静海·阶段练习）设函数（其中无理数，）． (1)若函数在上不是单调函数，求实数的取值范围； (2)证明：设函数的图象在处的切线为，证明：的图象上不存在位于直线上方的点． 8．（18-19高三·天津·阶段练习）已知函数，. （Ⅰ）若存在单调增区间，求的取值范围； （Ⅱ）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出的取值范围？若不存在，请说明理由. 题型五：利用导数研究双变量问题 9．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 10．（2023·天津河西·模拟预测）已知． (1)求在处的切线方程； (2)对，有恒成立，求的最大整数解； (3)令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求的取值范围，并证明：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题04 导数的综合应用 题型1 利用导数研究函数的恒成立 题型2 利用导数证明不等式 题型3 函数的零点问题 题型4 利用导数研究函数的图像与性质 题型5 利用导数研究双变量问题 题型一：利用导数研究函数的恒成立 1．（2021·天津宁河·一模）已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，证明； (3)若关于的不等式有解，求实数的取值范围. 【详解】（1）当时，求函数 当时， 所以在单调递增； 当时， 所以在单调递减； 综上函数在单调递增，在单调递减； （2）当时， 要证，只需证，即证明 令，则 当时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增 所以，即. （3）由题意，不等式有解，即不等式在上有解 等价于在上有解，则 设，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以，所以. 设，， 设（），，由，得.所以在单调递减，在单调递增. 所以，则，所以在上单调递增 当时，，所以 综上，实数的取值范围是. 2．（22-23高三上·天津北辰·阶段练习）已知函数，. (1)求函数的极值； (2)若存在时，使成立，求的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）因为， ∴， 由，可得，由，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数有极小值，无极大值； （2）由，可得， 即存在，成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，， 所以； （3）由题可知对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 下面证明对任意恒成立， 设，， 则在上恒成立，且仅在时取等号， 所以在上单调递减， ∴，即， 所以对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 题型二、利用导数证明不等式 3．（23-24高三下·天津·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)已知，设的两个极值点为，且存在，使得的图象与