精品解析：上海市普陀区2024届高三下学期4月质量调研数学试卷

普陀区2023学年第二学期高三数学质量调研 2024.4 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得票分. 1. 已知复数，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点的坐标为______. 2. 已知，设集合，集合，若，则______. 3 若，则________. 4. 已知，若，则______. 5. 若实数，满足，则的最小值为______. 6. 设，若，且，则______. 7. 为了提高学生参加体育锻炼的积极性，某校本学期依据学生特点针对性的组建了五个特色运动社团，学校为了了解学生参与运动的情况，对每个特色运动社团的参与人数进行了统计，其中一个特色运动社团开学第1周至第5周参与运动的人数统计数据如表所示. 周次 1 2 3 4 5 参与运动的人数 35 36 40 39 45 若表中数据可用回归方程来预测，则本学期第11周参与该特色运动社团的人数约为______.（精确到整数） 8. 设等比数列的公比为，则“，，成等差数列”的一个充分非必要条件是______. 9. 若向量在向量上的投影为，且，则______. 10. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______. 11. 设，，是正整数，是数列的前项和，，，若，且，记，则______. 12. 已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 从放有两个红球、一个白球的袋子中一次任意取出两个球，两个红球分别标记为、，白球标记为，则它的一个样本空间可以是（ ） A B. C. D. 14. 若一个圆锥的体积为，用通过该圆锥的轴的平面截此圆锥，得到的截面三角形的顶角为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 15. 直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（ ） A. 3 B. 5 C. 10 D. 12 16. 设是数列的前项和，若数列满足：对任意的，存在大于1的整数，使得成立，则称数列是“数列”.现给出如下两个结论：①存在等差数列是“数列”；②任意等比数列都不是“数列”.则（ ） A. ①成立②成立 B. ①成立②不成立 C. ①不成立②成立 D. ①不成立②不成立 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，，、分别是、的中点. （1）求证：平面； （2）若二面角大小为，求直线与平面所成角的大小. 18. 设函数，，，它的最小正周期为. （1）若函数是偶函数，求值； （2）在中，角、、的对边分别为、、，若，，，求的值. 19. 张先生每周有5个工作日，工作日出行采用自驾方式，必经之路上有一个十字路口，直行车道有三条，直行车辆可以随机选择一条车道通行，记事件为“张先生驾车从左侧直行车道通行”. （1）某日张先生驾车上班接近路口时，看到自己车前是一辆大货车，遂选择不与大货车从同一车道通行.记事件为“大货车从中间直行车道通行”，求； （2）用表示张先生每周工作日出行事件发生的次数，求的分布及期望. 20. 设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点. （1）求椭圆的方程； （2）若直线过右焦点，且，，求的值； （3）设直线的方程为，且，求的取值范围. 21. 对于函数，和，，设，若，，且，皆有成立，则称函数与“具有性质”. （1）判断函数，与是否“具有性质”，并说明理由； （2）若函数，与“具有性质”，求的取值范围； （3）若函数与“具有性质”，且函数在区间上存在两个零点，，求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 普陀区2023学年第二学期高三数学质量调研 2024.4 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷