精品解析：上海市黄浦区2024届高三二模数学试题

上海市黄浦区2024届高三二模数学试题2024年4月 （完成试卷时间：120分钟 总分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 若集合，，则_________. 2. 抛物线的焦点到准线的距离是_________________. 3. 若，，其中，则_________. 4. 若一个圆柱的底面半径为2，母线长为3，则此圆柱的侧面积为_________. 5. 若展开式中的系数是，则实数_________. 6. 在中，，，，则_________. 7. 随机变量服从正态分布，若，则_________. 8. 若实系数一元二次方程有一个虚数根的模为4，则的取值范围是_________. 9. 某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为_________. 10. 已知数列是给定的等差数列，其前项和为，若，且当与时，取得最大值，则的值为_________. 11. 如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段与分别以为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点是线段上的动点，点O为线段的中点，点在以为直径的半圆弧上，且均为直角.若百米，则此步道的最大长度为_________百米. 12. 在四面体中，，，，设四面体与四面体体积分别为、，则的值为_________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分.其中第13、14题每题满分4分，第15、16题每题满分5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ） A. B. C. D. 14. 函数（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 15. 设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设数列的前n项和为，若对任意的，都是数列中的项，则称数列为“T数列”.对于命题：①存在“T数列”，使得数列为公比不为1的等比数列；②对于任意的实数，都存在实数，使得以为首项、为公差的等差数列为“T数列”.下列判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设，函数. （1）求的值，使得为奇函数； （2）若，求满足的实数的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，点E是棱PD上的一点，平面. （1）求证：点E是棱PD的中点； （2）若平面，，，与平面ABCD所成角的正切值为，求二面角的大小. 19. 某社区随机抽取200个成年市民进行安全知识测试，将这200人的得分数据进行汇总，得到如下表所示的统计结果，并规定得分60分及以上为合格. 组别 频数 9 26 65 53 47 （1）该社区为参加此次测试的成年市民制定了如下奖励方案：①合格的发放个随机红包，不合格的发放个随机红包；②每个随机红包金额(单位：元)的分布为.若从这200个成年市民中随机选取1人，记（单位：元）为此人获得的随机红包总金额，求的分布及数学期望； （2）已知上述抽测中60岁以下人员合格率约为56%，该社区所有成年市民中60岁以下人员占比为70%.假如对该社区全体成年市民进行上述测试，请估计其中60岁及以上人员的合格率以及成绩合格的成年市民中60岁以下人数与60岁及以上人数之比. 20. 如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. （1）求与的方程； （2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； （3）设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 21. 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合，则称该切线为函数的图象的“自公切线”，称这两点为函数的图象的一对“同切点”. （1）分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”，并说明理由； （2）若，求证：函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”； （3）设，的零点为，，求证：“存在，使得点与是函数的图象的