中考大题06 圆中的证明与计算问题（8题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

中考大题06 圆中的证明与计算问题 中考数学中，圆的基本性质、与圆有关的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有通常选择填空题会出圆的基本性质，如弧长、弦长、半径、圆周角等的关系,基本都是基础应用，难度不大,个别会出选择题的压轴题，难度稍大.简答题部分，一般会把切线的问题和相似三角形、锐角三角函数等结合考察，这是一般都是中等难度的问题.还有一些城市会把圆的基本性质等与其他动点问题综合考察,此时一般都是压轴题，难度很大，这时候就需要考生综合思考的点比较多. 题型一： 圆中的角度和线段计算问题 1．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．    (1)若，求的长． (2)求证：． (3)若，猜想的度数，并证明你的结论． 2．（2023·山东·中考真题）如图，已知是的直径，，切于点，过点作交于点，若．    (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，是上一点，在上取一点，使，连接．请问：三条线段有怎样的数量关系？并证明你的结论． 圆的基础定理: 垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题. 垂径定理模型（知二得三） 如图，可得①AB过圆心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④⑤ 【总结】垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直径）（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧，若已知五个条件中的两个，那么可推出其中三个，简称“知二得三”，解题过程中应灵活运用该定理. 常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度； 2）有弦中点，连中点和圆心，得垂直平分. 【利用圆周角定理解题思路】 1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，在同圆中可以利用圆周角定理进行角的转化. 2）在证明圆周角相等或弧相等时，通常“由等角找等弧”或“由等弧找等角”. 3）当已知圆的直径时，常构造直径所对的圆周角． 4）在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等． 1．（2023·河南商丘·模拟预测）如图，过外一点P作的两条切线，切点分别为A，B，过点B作交于点C，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，以为直径的半圆交于D，过D作圆的切线交于E．    求证： (1)； (2)． 题型二： 求弓形面积或不规则图形面积 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 2．（2023·江苏宿迁·中考真题）（1）如图，是的直径，与交于点F，弦平分，点E在上，连接、，________．求证：________．    从①与相切；②中选择一个作为已知条件，余下的一个作为结论，将题目补充完整（填写序号），并完成证明过程． （2）在（1）的前提下，若，，求阴影部分的面积． 设⊙O 的半径为R，n°圆心角所对弧长为，n为弧所对的圆心角的度数，则 扇形弧长公式 （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关，且n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．） 扇形面积公式 S扇形==R 圆锥侧面积公式 S圆锥侧=πrl （其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径） 圆锥全面积公式 S圆锥全=πrl+πr2 （圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积） 圆锥的高h，圆锥的底面半径r 【阴影部分面积求解问题解题思路】求阴影部分面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有： 1．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 (1)求证：是的切线； (2)若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 2．（2023·江苏常州·一模）如图1，将一个三角形纸板绕点逆时针旋转到达的位置，那么可以得到：，，，．（___________）图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学． (1)上述问题情境中“（________）”处应填理由：________________； (2)如图2，将一个半径为，圆心角为的扇形纸板绕点逆时针旋转到达扇形纸板的位置． ①请在图中作出点； ②如果，则在旋转过程中，点经过的路径长为____