重难点03 几何最值问题（5大题型+满分技巧+限时分层检测）-2024年中考数学【热点·重点·难点】专练（广东专用）

重难点03 几何最值问题 广东中考数学中《几何最值》部分主要考向分为四类： 一：将军饮马（每年选考1~2题，3~6分） 二：费马点（每年选考1~2题，3~6分） 三：胡不归模型（每年选考1~2题，3~6分） 四; “阿氏圆”模型（每年选考1~2题，3~6分） 五：隐形圆（每年选考1~2题，3~6分） 考向一：将军饮马 模型一：两定一动模型 模型 作法 结论 当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小． 连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点． PA＋PB的最小值为AB 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小． 作点B关于直线l的对称点B'， 连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点． PA＋PB的最小值为AB' 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大． 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点． 的最大值为AB 当两定点A、B在直线l异侧时，在直线 l上找一点P，使得最大． 作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点． 的最大值为AB' 当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小． 连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点． 的最小值为0 模型二：一定两动模型 模型 作法 结论 点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小． 分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求． △PCD周长的最小值为P′P″ 点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小． 作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB于D，点C、点D即为所求． PD＋CD的最小值为P′C 1．如图，中，，点P为AC边上的动点，过点P作于点D，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 2．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且、与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最小值（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为  边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A．118° B．125° C．136° D．124° 4．如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 5．如图，凸四边形中，，若点M、N分别为边上的动点，则的周长最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 考向二：费马点 “费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点. 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60° 构造等边三角形 将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上 利用两点之间线段最短求解问题 模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小. 当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点. 特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A （这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°） 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值。证明过程： 将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ。 即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE 6．如图，在中，，P是内一点，求的最小值为 ． 7．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PD⊥BC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD= ． 8．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 9．如图，四边形 是菱形，B=6，且∠A