湖南省岳阳市岳阳县第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024年高一数学期中考试试题 一．选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．若复数z满足，则z的虚部是（　　） A． B． C． D． 2．在△ABC中，点D是边AB的中点，则有（　　） A． B． C． D． 3．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是（　　） A．CC1与B1E是异面直线 B．CC1与AE是共面直线 C．AE与B1C1是异面直线 D．AE与BB1是共面直线 4．若，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 5．定义：若z2＝a+bi（a，b∈R），则称复数z是复数a+bi的平方根．根据定义，复数9﹣40i的平方根为（　　） A．3﹣4i，﹣3+4i B．4+3i，4﹣3i C．5﹣4i，﹣5+4i D．4﹣5i，﹣4+5i 6．一个球的外切正方体的全面积等于6cm2，则此球的体积为（　　） A． B． C． D． 7．下列命题正确的为（　　） ①若△ABC在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q，R，则P，Q，R三点共线； ②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ④已知a，b，c为三条直线，若a⊥c，b⊥c，则a∥b． A．①③ B．②③ C．②④ D．①② 8．如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了6m，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m，则此人对该物体所做的功为（　　） A． B． C．125J D．150J 二．多选题（共4小题，每题5分，共20分） （多选）9．在△ABC中，已知，，B＝45°，则角A的值可能为（　　） A．30° B．120° C．60° D．150° （多选）10．已知a，b表示两条直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列说法，正确的有（　　） A．若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β B．若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β C．若a∥α，b∥β，且a∥b，则α∥β D．a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b （多选）11．关于直线m，n与平面α，β，以下四个命题中真命题是（　　） A．若m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B．若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n C．若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n （多选）12．已知两个不相等的非零向量、，两组向量x1、x2、x3、x4、x5和y1、y2、y3、y4、y5均由2个和3个排列而成．记S＝x1•y1+x2•y2+x3•y3+x4•y4+x5•y5，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题中真命题为（　　） A．S可能有5个不同的值 B．若，则Smin与无关 C．若，则Smin＞0 D．若，，则与的夹角为 三．填空题（共4小题，每题5分，共20分） 13．命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是　 　． 14．已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为20π的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为 　 　． 15．已知向量＝（2，2），＝（cosα，sinα），则向量的模的最大值是　 　． 16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，AA1＝AB，D，E，F分别是棱AA1，BB1，BC的中点，则异面直线DF与C1E所成角的余弦值是 　 　． 四．解答题（共6小题，共70分） 17．如图，已知棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．(10分） （1）证明：D1A∥平面C1BD； （2）求三棱锥B﹣A1B1C1的体积． 18．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示． （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）sinx，求g（x）在区间上的最大值和最小值． 19．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若．(12分） （1）求角A的大小； （2）若a＝2，求中线AD长的范围（点D是边BC中点）． 20．某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动．A处有一栋大楼，某学生选B，C两处作为测量点，测得BC的距离为50m，∠ABC＝45°，∠BCA＝105°，在C处测得大楼楼顶D的仰角α为75°．(12分） （1）求A，C两点间的距离； （2）求大楼的高度． 21．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边c＝2，且a•sinA﹣a•sinB＝c•sinC﹣b•sinB．(12分）