精品解析：上海市松江区2024届高三下学期模拟考质量监控数学试卷

松江区2023学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2024.4 考生注意: 1. 本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分. 2. 答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号. 3. 答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位. 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1~6题每个空格填对得4分，第7~12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 函数的定义域为________________ 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则___________. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则______. 4. 已知点坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的坐标为______. 5. 已知，则_____________． 6. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则此圆锥的体积为______.（结果中保留） 7. 已知等差数列的公差为2，前项和为，若，则使得成立的的最大值为______. 8. 已知函数，若，则的最小值为______． 9. 是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为_______ 10. 已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是______. 11. 已知，函数，若该函数存在最小值，则实数取值范围是______. 12. 某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有______种不同的选择方法. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，第13、14题选对得4分，第15、16题选对得5分，否则一律得零分. 13. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 14. 垃圾分类是保护环境，改善人居环境､促进城市精细化管理､保障可持续发展的重要举措.某小区为了倡导居民对生活垃圾进行分类，对垃圾分类后处理垃圾（千克）所需的费用（角）的情况作了调研，并统计得到下表中几组对应数据，同时用最小二乘法得到关于的线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） A. 变量、之间呈正相关关系 B. 可以预测当时，的值为 C. D. 由表格中数据知样本中心点为 15. 已知某个三角形的三边长为、及，其中.若，是函数的两个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设为数列前项和，有以下两个命题：①若是公差不为零的等差数列且，，则是的必要非充分条件；②若是等比数列且，，则的充要条件是.那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都真命题 D. ①、②都是假命题 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式； （2）在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 19. 某素质训练营设计了一项闯关比赛.规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立. （1）计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望； （3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出. 20. 如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上. （1）求线段的长； （2）若线段的中点在轴上，求的面积； （3）是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数（常数），记. （1）若函数在处的切线过原点，求实数的值； （2）对于正实数，求证：； （3）当时，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 松江区2023学年度第二学期模拟考质量监控试卷 高三数学 （满分150分，完卷时间120分钟） 2024.4 考生注意: 1