江苏省无锡市第一中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

无锡市第一中学2023-2024学年度第二学期期中试卷 高 一 数学 2024.4 命题： 冯一成 审核：沈柏英 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在下列各组向量中，可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 2．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．如图，石磨是用于把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种机械，通常由两个圆石做成．磨是平面的两层，两层的接合处都有纹理，粮食从上方的孔进入两层中间，沿着纹理向外运移，在滚动过两层面时被磨碎，形成粉末．如果一个石磨近似看作两个完全相同的圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面圆的直径是高的2倍，若石磨的侧面积为，则圆柱底面圆的半径为（    ） A．4 B．2 C． D． 5．正四面体A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，则不正确的选项为（    ） A．EF∥平面ACD B．AC⊥BD C．AB⊥平面FGH D．E，F，G，H四点共面 6．已知是边长为1的正的边上靠近C的四等分点，为的中点，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（    ）（参考数据：，，，） A．40米 B．14米 C．48米 D．52米 8．半正多面体亦称“阿基米德体”或“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多面体中，若其棱长为2，点M，N分别在线段，上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9． 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以下判断正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则为等腰直角三角形 D．若，则是钝角三角形 10．在正方体中，，，过E，F的平面将正方体截成两部分，则所得几何体可能是（    ） A．三棱锥 B．直三棱柱 C．三棱台 D．四棱柱 11．平行四边形ABCD中，，，.动点P满足，，下列选项中正确的有（    ） A．时，的取值范围是 B．时，存在使得 C．时，动点形成的轨迹的长为 D．且最大时，在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则的夹角为 . 13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为边的中点，c =1, ，，则边a的长为 . 14．如今中国在基建方面世界领先，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体体积为，则模型中最大球的体积为 ，模型中九个球的表面积之和为 . 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，P为线段AD的中点，记，. (1)求的值； (2)若的面积为，，求线段CP的长度. 16．我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，三棱锥中平面． (1)证明：三棱锥为鳖臑； (2)若为上一点，点分别为的中点．平面与平面 的交线为． ①证明：直线平面； ②判断与的位置关系，并证明你的结论． 17．在①，②中任