2024年中考数学二轮专题复习之圆弧中点的应用

中考数学二轮专题复习之圆弧中点的应用 一、知识导航 1． 与垂径定理相关 若点P是中点，连接OP，则OP⊥AB． 若过点P作MN∥AB，则MN是圆O的切线． 变换条件：连接BP、AP，若∠BPN=∠A，则MN是圆O切线． 2． 与圆周角定理相关 若点P是中点，点C是圆上一点，则∠PCA=∠PCB． 特别地，若点P是半圆中点，则∠PCA=∠PCB=45°． 若连接PA、PB，则∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB． 可得：△PDA∽△PAC；△PDB∽△PBC． 可得：△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB． 3． 垂径定理与圆周角定理结合 如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，则△ADP∽△APC． 以下作图可证明：∠PAC=∠APH，即可得△PAD是等腰三角形． 1． 二、典例精析 1． 如图，是的外接圆，的平分线交于点，交于点，过点作直线． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求的长． 【分析】 （1）相切． ∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点， 连接OD，则OD⊥BC， 又∵DF∥BC，∴OD⊥DF， ∴DF是圆O的切线． （2）连接CD，易证△AEB∽△CED， ∴，代入得：， 解得：，∴ 故BD的长为． 2． 如图，为外接圆的直径，且． （1）求证：与相切于点； （2）若，，，求的长． 【分析】 （1）如图，连接OA交BC于点H， ∵BD是直径，∴∠BAD=90°， ∵∠BAC=∠D=∠OAD，且∠OAD+∠OAB=90°， ∴∠BAE+∠OAB=90°，∴∠OAE=90°， ∴OA⊥AE，∴AE与圆O相切于点A． （2）∵AE∥BC，∴OA⊥BC，∴点A是弧BC中点，∴， ，勾股定理得：， 设半径为r，则OB=r，，在Rt△OHB中，， 代入得：，解得：r=4， ∴BD=2r=8，在Rt△ABD中，勾股定理可得：． 故AD的长为． 3． 如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． （1）求证：是的切线； （2）若，当，时，求的长． 【分析】 （1）如图，连接BD，∵∠BAD=90°，∴BD是直径， ∵∠BAC=∠BDC，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠BAC+∠CBD=90°， 又∠DEC=∠BAC，∴∠DEC+∠CBD=90°， ∴∠BDE=90°，即BD⊥DE， ∴DE是圆O的切线． （2）∵BD⊥DE，AC∥DE，∴BD⊥AC，∴点D是弧AC中点， 易证△BAD≌△BCD，∴AC=AB=8， 记BD与AC交点为H，射影定理可得：， 代入可得：，∴， 易证△DHC∽△DCB，可得：，代入得：， 解得：，∴． 故AC的 长为． 4． 如图，在直角三角形中，，点是的内心， 的延长线和三角形的外接圆相交于点，连结． （1）求证：； （2）过点作的平行线交、的延长线分别于点、，已知，圆的直径为5． ①求证：为圆的切线； ②求的长． 【分析】 （1）连接BH，易证， ∴∠BHD=45°，又∠BDH=90°，∴△BDH是等腰直角三角形， ∴DH=DB． （2）①连接OD，∵AD平分∠BAC，∴点D是弧BC中点， ∴OD⊥BC，∵EF∥BC，∴OD⊥EF， ∴EF是圆O的切线． ②记BC与OD交点为M点，则DM=CE=1， ∵AB=5，∴OD=OB=， ∴OM=，BM=2，∴， ∵BC∥EF，∴∠F=∠ABC， ∴，∴， ∴DF的长为． 5． 如图，是的外接圆的直径，点在延长线上，且满足． （1）求证：是的切线； （2）弦交于点，若，求的长． 【分析】 （1）∵∠B=∠D，且∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠PAC+∠CAD=90°，即AD⊥AP， ∴PA是圆O的切线． （2）易证△AFE∽△AEB，∴，即 ∴，又AC=AE， ∴． 6． 已知：AB为⊙O的直径，延长AB到点P，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，且AC＝CP． （1）求∠P的度数； （2）若点D是弧AB的中点，连接CD交AB于点E，且，求⊙O的面积．（π取3.14） 【分析】 （1）连接OC，则∠OAC=∠OCA， ∵AC=CP，∴∠CAP=∠CPA， 又CP是圆O的切线，则OC⊥CP， ∴∠OAC+∠OCA+∠P=90°，∴∠P=30°． 故∠P的度数是30°． （2）连接BC，易证△DEB∽△DBC， ∴，即，∴， ∴，， 7． 如图，，是以为直径的上的点，且，弦交于点，平分，于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【分析】 （1）连接OM，则OM=OB，∴∠OBM=∠OMB， ∵MB平分∠ABD，∴∠OBM=∠FBM，∴∠OMB=∠FBM， ∵∠BMF+∠FBM=90°，∴∠FMB+∠OMB=90°，即∠OMF=90°， ∴MF是圆O的切线． （2）∵点N是弧A