2024年中考数学二轮专题复习圆系列之切线的判定

中考数学二轮复习圆系列之切线的判定 一、知识导航 1． 切线的性质：垂直于过切点的半径．（连半径，得垂直） 2． 切线的判定： （1）定义法：和圆只有一个交点的直线是圆的切线； （2）距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 证明d=r即可，常用于已知数据的计算，比如动圆相切问题． （3）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 换个说法：，多用于几何证明． 多为有交点，重点考虑如何证垂直：①证明和已知垂线平行；②证明夹角为直角． 3． 常见相切图 （1）角分+等腰得平行：点C在以AB为直径的圆O上，AH⊥CH，且AC平分∠HAB． 连接OC，则OC=OA，∴∠OCA=∠OAC， 又∠OAC=∠HAC，∴∠OCA=∠HAC， ∴OC∥AH，∴OC⊥CH，∴CH是圆O的切线． （2）证明和已知直角相等． 证明△PCO≌△PAO，可得∠PCO=∠PAO=90°． （3）证明夹角为直角．（弦切角定理） 如图，若∠BAC=∠D，则AB是圆O切线． 如图，连接AO并延长交圆O于点P，则∠P=∠D=∠BAC， ∵∠P+∠PAC=90°，∴∠BAC+∠PAC=90°，即AB⊥AP， ∴AB是圆O的切线． 二、典例精析 【有交点证垂直，角分+等腰得平行】 1． 如图，为的直径，点在上，于点，且平分，求证：（1）直线是的切线；（2）． 【分析】 （1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA， 又AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC， ∴∠OCA=∠DAC，∴AD∥OC， ∵AD⊥CD，∴OC⊥CD， ∴DC是圆O的切线． （2）连接BC，过点C作CH⊥AN交AB于H点，则， ∵AH=AD，AB=2AO， ∴．　 【有交点证垂直，角分+等腰得平行】 2． 如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，于点． （1）试判断与的位置关系，并说明理由； （2）过点作于点，若，，求图中阴影部分的面积． 【分析】 （1）相切． 连接OD，∵BD平分∠ABE，∴∠ABD=∠EBD， ∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB， ∴∠EBD=∠ODB，∴OD∥BE， ∵DE⊥BE，∴OD⊥DE， ∴DE与圆O相切． （2）易证△BED≌△BFD，∴BF=BE=，又DF=3，∴∠ABD=30°， 连接OD，则∠AOD=60°，易证， ∴， 故阴影部分面积为． 【角分+等腰得平行】 3． 如图，在中，，平分交于点，是上一点，经过，两点的交于点，连接，作的平分线交于点，连接． （1）求证：是的切线． （2）若，，求线段的长． 【分析】 （1）连接EO，则OA=OE，∴∠OAE=∠OEA， 又AE平分∠BAC，∴∠OAE=∠CAE，∴∠OEA=∠CAE，∴OE∥AC， ∵AC⊥BC，∴OE⊥BC， ∴BC是圆O的切线． （2）EF平分∠AED，则点F是半圆AD中点，连接OF， 则△AOF是等腰直角三角形，∴， ∴AD=10，，∴AE=8，DE=6， ∵AE平分∠BAC，∴， 即，∴， 故AC的长为． 4． 如图， 在△ABC中， 以BC为直径的圆C交AC于点E，过点E作AB的垂线交AB于点F，交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C． （1） 求证： EG是圆O的切线； （2） 若，AC=8，求圆O的半径 ． 【分析】 （1）连接OE，则OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∴∠EOG=2∠C， 又∠ABG=2∠C，∴∠EOG=∠ABG，∴OE∥AB， ∵EG⊥AB，∴EG⊥OE， ∴EG是圆O的切线． （2）连接BE，则BE⊥AC，∵OE∥AB，∴△ABC是等腰三角形， ∴E是AC中点，∵AC=8，∴， ∵，∴， ∴，∴r=OB=， 故圆O的半径为． 【有交点，证垂直，全等证明夹角为直角】 5． 如图，、分别是的直径和弦，于点．过点作的切线与的延长线交于点，、的延长线交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求线段的长． 【分析】 （1）连接OC，∵OP⊥AC，∴OP平分AC， ∴OP是AC的垂直平分线，∴PA=PC， 易证△POA≌△POC，∴∠PCO=∠PAO=90°，∴OC⊥PC， ∴PC是圆O的切线． （2）若∠ABC=60°则△OBC是等边三角形，∴∠BOC=60°，OC=OB=5， 在Rt△OCF中，， 故CF的长为． 6． 如图，，是半径，过作的切线，交的平分线于点，连接，延长交于点，交的延长线于点 （1）求证：直线是的切线； （2）如果点是的中点，的半径为，求的长度（结果保留 【分析】 （1）易证△COA≌△COD，∴∠ODC=∠OAC=90°，即OD⊥CD， ∴CD是圆O的切线． （2）若点D是BC的中点，则△BOC是等腰三角形，∴∠OBC=∠OCB， 又∠OCB=∠OCA，∴设∠OBC=∠OCB=∠OCA=， ∴