2024年中考数学二轮专题复习之圆中相似问题

中考数学二轮专题复习之圆中相似问题 一、知识导航 1． 基本相似模型 （1）射影定理 如图，AB是直径，CD⊥AB．则：； ； ． （2）母子型相似 如图，若∠ABD=∠C，则△ABD∽△ACB．． （3）圆幂定理等其他相似图 2． 常见问法 （1）线段求值； （2）证明乘积关系，如证或； （3）乘积求值，如求的值； （4）比例求值，如求的值； 3． 解题关键 如何找到恰当的相似解决问题？ 利用圆周角定理等尽可能找相等角，两组角相等即可证全等； 若有相等线段转化线段，问题中的线段可能并非相似三角形中的线段； 确定相等线段、角之后，猜想可能存在的相似并证明． 二、典例精析 1． 如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为　 　． 2． 如图，已知是的直径，，为圆上一点，且，连接，，，与交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，求的值． 3． 如图，是的直径，点为线段上一点（不与，重合），作，交于点，作直径，过点的切线交的延长线于点，作于点，连接． （1）求证：平分； （2）求证：； （3）当且时，求劣弧的长度． 4． 已知为的直径，为的切线，切点为，分别过，两点作的垂线，垂足分别为，，的延长线与相交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 5． 如图，在中，，点在边上，且，过，，三点的交于另一点，作直径，连结并延长交于点，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）当，时，求的直径长． 6． 如图，内接于，，，过点作，与的平分线交于点，与交于点，与交于点． （1）求的度数； （2）求证：； （3）求证：是的切线． 7． 如图，在以线段为直径的上取一点，连接、．将沿翻折后得到． （1）试说明点在上； （2）在线段的延长线上取一点，使．求证：为的切线； （3）在（2）的条件下，分别延长线段、相交于点，若，，求线段的长． 8． 如图，在中，，是上一点，过，，三点的交于点，连接ED、EC，点是线段上的一点，连接，其中． （1）求证：是的切线． （2）若是的中点，，，求的长． 三、真题演练 1．四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点． (1)如图1，若，且，求证：平分； (2)如图2，连接，若，求证：． 2．如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 3．如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求证：． 4．如图，是的直径，与交于点A，点E是半径上一点（点E不与点O，A重合）．连接交于点C，连接，．若，． （1）求证：是的切线． （2）若，，则的长是__________． 5．如图，在中，是上（异于点，）的一点，恰好经过点，，于点，且平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径长． 6．如图，已知，是的直径，是的切线，点在的延长线上，，交于点， (1)求证：； (2)求证：； (3)若的面积，求四边形的面积． 7．如图，以AB为直径的半圆中，点O为圆心，点C在圆上，过点C作，且．连接AD，分别交于点E，F，与交于点G，若．    (1)求证：①； ②CD是的切线． (2)求的值． 8．如图，在中，，以AB为直径作⊙，分别交BC于点D，交AC于点E，，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F． (1)求证：DH是⊙的切线； (2)若E为AH的中点，求的值． 9．如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．    (1)求证：； (2)若，，，求的长． 10．已知，是半径为1的的弦，的另一条弦满足，且于点H（其中点H在圆内，且）．    (1)在图1中用尺规作出弦与点H（不写作法，保留作图痕迹）． (2)连结，猜想，当弦的长度发生变化时，线段的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出的长度； (3)如图2，延长至点F，使得，连结，的平分线交的延长线于点P，点M为的中点，连结，若．求证：． 11．如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，点是的中点，连接．    (1)求证：是的切线． (2)若，求的长． (3)求证：． 12．如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．    (1)如果，求证：四边形为平行四边形； (2)如图（2）所示，联结，如果，求边的长； (3)联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值． 13．如图，是⊙的直径，为⊙上的一点，点是的中点，连接，过点的直线垂