2024年中考数学二轮专题复习之圆中动圆相切问题

中考数学二轮专题复习之圆中动圆相切问题 一、知识导航 一、圆心为动点 解题思路：确定圆心到直线的距离d=r即可． 【引例】如图，直线l的解析式为，点P坐标为，以点P为圆心，1为半径作圆，当点P以每秒2个单位的速度向右移动时，时间t为何值时圆P与直线l相切？ 【分析】过点P作PH⊥直线l，垂足为H点，当PH=r=1时，即可得圆P与直线l相切． 当点P坐标为或时，PH=1，，， 综上所述，t的值为1或3． 二、动点为直径 解题思路：由切线的性质-垂直于过切点的半径，得垂直关系，再由三角函数值求得线段长． 【引例】在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，连接BD，点P从D点出发以每秒1个单位向点C运动，点Q从点B出发以每秒2个单位向点D运动，以PQ中点O为圆心，PQ为直径作圆，运动时间t为何值时，圆O与BD相切？ 【分析】当PQ⊥BD时，圆O与BD相切， 由题意得：DP=t，DQ=5-2t，若PA⊥BD，即， 代入得：，解得：， 故当t的值为时，圆O与BD相切． 三、交点个数的分析 圆与线段或图形交点个数问题，考虑交点个数变化的位置，当①圆与线段相切、②圆过线段端点时，交点个数会发生改变． 【引例】如图，在坐标系中，点A坐标为（1，0），点B坐标为（0，3），以点P（m，0）（m<0）为圆心，4为半径作圆，m为何值时，圆P与线段AB只有1个交点？ 【分析】 考虑圆P与AB相切：过点P作PH⊥AB，当PH=4时，圆P与AB相切， 易证△PHA∽△BOA，∴，此时； 当圆P过点A时，m=-3； 当圆P过点B时，，故； 综上，当或时，圆P与线段AB只有1个交点． 二、典例精析 1． 以坐标原点为圆心，作半径为2的圆，若直线与相交，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【分析】确定两个相切的时刻，当时，直线与圆相切，故若直线与圆相交，则b的取值范围是，故选D． 2． 如图，直线与坐标轴交于，两点，点是轴上一动点，以点为圆心，2个单位长度为半径作，当与直线相切时，则的值为　　． 【分析】点M到直线l的距离为2，即可得圆M与直线l相切． 过点M作MH⊥AB交AB于H点，当圆M与直线l相切时，MH=r=2， ，∴BH=4，， M点在B点左侧时，点M坐标为， M点在B点右侧时，点M坐标为， 综上，M点坐标为或． 3． 如图，直线交轴于点，交轴于点，点是轴上一动点，以点为圆心，以1个单位长度为半径作，当与直线相切时，点的坐标是　　． 【分析】若圆P与AB相切，则点P到直线AB的距离为1，可得， 又点A坐标为，故点P坐标为或． 4． 如图，中，，，，点从点出发，在边上以的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在边上以的速度向点运动，过的中点作的垂线，则当点运动了　　时，以点为圆心，为半径的圆与直线相切． 【分析】易证CD∥AB，当圆C与直线EF相切时，，， ，，∴， 5． 如图，Rt△ABC中，，，点在边上，，．点是线段上一动点，当半径为6的与的一边相切时，的长为　　． 【分析】当圆P与BC边相切时，过点P作PH⊥BC交BC，则PH=6， 易证△DHP∽△DCA，，解得：，∴． 当圆P与AB边相切时，过点P作PM⊥AB交AB于M点，则PM=6， 过点D作DN⊥AB交AB于点N，易证△BND∽△BCA，可得：，解得：， 易证△AMP∽△AND，，解得：． 综上，AP的长为或． 6． 如图，点的坐标是，点是以为直径的上一动点，点关于点的对称点为．当点在上运动时，所有这样的点组成的图形与直线有且只有一个公共点，则的值等于　　． 【分析】确定点P轨迹，考虑AP=2AC始终成立，可得点P轨迹是以点O为圆心，OA为半径的圆，若圆与直线相切，则半径等于点O到直线的距离，用面积法可求，故，则． 【动圆相切-与多边形相切】 如图，正方形的边长为8，是的中点，是边上的动点，连结，以点为圆心，长为半径作．当与正方形的边相切时，的长为　　． 【分析】圆不可能与AB、BC边相切． 当圆P与CD相切时，即PM=PC 如图所示，设BP=x，则，， 则，解得：x=3． 当圆P与AD相切时，即PM=r=8， 解得． 综上，BP的长为3或． 7． 已知如图：在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，是直线上一动点，的半径为1． （1）判断原点与的位置关系，并说明理由； （2）当过点时，求被轴所截得的劣弧的长； （3）当与轴相切时，求出切点的坐标． 【分析】 （1）过点O作OH⊥AB于点H，可得，∴， 故点O在圆外． （2）记圆P与y轴另外一交点为C，连接PC，则∠BPC=120°， 则，故圆P被y轴截得的弧长为． （3）圆P与x轴相切，即点P到x轴距离为1即可，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 故切点的坐标为或． 8． 如图，在矩形ABCD中，AB=6c