精品解析：上海市虹口区2024届高三下学期期中学生学习能力诊断测试（二模）数学试卷

虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2024.4 考生注意： 1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟， 2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分. 一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知，则________； 2. 已知球表面积为,则该球的体积为______. 3. 过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为__________. 4. 已知集合，则__________. 5. 已知随机变量，且，则__________. 6. 3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻站法种数为__________. 7. 已知一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形外接圆的直径为__________. 8. 已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则__________. 9. 已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为__________. 10. 从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮廓为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，且，则该双曲线的离心率为__________． 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，且.若，点为棱的中点，点在上，则线段的长度和的最小值为__________. 12. 已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 二､多选题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13. 欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，被誉为“数学的天桥”.若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 14. 设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（ ） A. 函数是偶函数 B. 函数的图像关于直线对称 C. 函数在上是严格增函数 D. 函数在上值域为 15. 给出下列4个命题： ①若事件和事件互斥，则； ②数据的第百分位数为10； ③已知关于的回归方程为，则样本点的离差为； ④随机变量的分布为，则其数学期望. 其中正确命题的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 16. 已知定义在上的函数的导数满足，给出两个命题： ①对任意，都有；②若的值域为，则对任意都有. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都是假命题 B. ①②都是真命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 三､解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸相应位置写出必要步骤. 17. 已知等差数列满足，. （1）求的通项公式； （2）设数列前项和为，且，若，求正整数最小值. 18. 如图，在三棱柱中，，为的中点，，. （1）求证：平面； （2）若平面，点在棱上，且平面，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表： 质量差（单位：） 54 57 60 63 66 件数（单位：件） 5 21 46 25 3 （1）求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值； （2）已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第1条生产线.若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的.现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件. （i）求抽取零件为废品的概率； （ii）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率. 参考数据：若随机变量，则. 20. 已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线为的法向量为，求直线的方程； （3）是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由. 21. 若函数满足：对任意，都有，则称函数具有性质. （1）设，，分别判断与是否具有性质？并说明理由； （2）设函数具有性质，求实数的取值范围； （3）已知函数具有性质，且图像是一条连续曲线，若在上是严格增函数，求证：是奇函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 虹口区2023学年度第二学期期中学生学习能力诊断测试 高三数学试卷 2024.4 考生注意