创新示范卷20 2024年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考)（含答题卡）-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮创新示范卷（新题型 人教B版 新教材）

　　　创新示范卷(二十) 　　　　　　２０２４年１月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试(九省联考) 　　　　　数学试题 注意事项: １．答卷前,考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上． ２．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号．回答非选择题时,将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． ３．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题:本题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的． １．样本数据１６,２４,１４,１０,２０,３０,１２,１４,４０的中位数为 (　　) A．１４　　　　　　　　B．１６　　　　　　　　C．１８　　　　　　　　D．２０ ２．椭圆x ２ a２ ＋y２＝１(a＞１)的离心率为１２ ,则a＝ (　　) A．２ ３３ B．２ C．３ D．２ ３．记等差数列{an}的前n项和为Sn,a３＋a７＝６,a１２＝１７,则S１６＝ (　　) A．１２０ B．１４０ C．１６０ D．１８０ ４．设α,β是两个平面,m,l是两条直线,则下列命题为真命题的是 (　　) A．若α⊥β,m∥α,l∥β,则m⊥l B．若m⊂α,l⊂β,m∥l,则α∥β C．若α∩β＝m,l∥α,l∥β,则m∥l D．若m⊥α,l⊥β,m∥l,则α⊥β ５．甲、乙、丙等５人站成一排,且甲不在两端,乙和丙之间恰有２人,则不同排法共有 (　　) A．２０种 B．１６种 C．１２种 D．８种 ６．已知Q 为直线l:x＋２y＋１＝０上的动点,点P 满足QP → ＝(１,－３),记P 的轨迹为E,则 (　　) A．E是一个半径为 ５的圆 B．E是一条与l相交的直线 C．E上的点到l的距离均为 ５ D．E是两条平行直线 ７．已知θ∈ ３π４ ,πæ è ç ö ø ÷,tan２θ＝－４tanθ＋π４ æ è ç ö ø ÷,则 １＋sin２θ ２cos２θ＋sin２θ ＝ (　　) A．１４ B． ３ ４ C．１ D． ３ ２ ８．设双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１,F２,过坐标原点的直线与C交于A,B 两点,|F１B|＝２|F１A|,F２A → 􀅰F２B → ＝４a２,则C的离心率为 (　　) A．２ B．２ C．５ D．７ 二、选择题:本题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全 部选对的得６分,部分选对的得部分分,有选错的得０分． ９．已知函数f(x)＝sin２x＋３π４ æ è ç ö ø ÷＋cos２x＋３π４ æ è ç ö ø ÷,则 (　　) A．函数f x－π４ æ è ç ö ø ÷为偶函数 B．曲线y＝f(x)的对称轴为x＝kπ,k∈Z C．f(x)在区间 π３ ,π ２ æ è ç ö ø ÷单调递增 D．f(x)的最小值为－２ １０．已知复数z,w 均不为０,则 (　　) A．z２＝|z|２ B．z　　 　　􀭵z ＝ z ２ 　　　　 　　　 　|z|２ C．z－w＝􀭵z－􀭿w D．zw ＝ |z| 　　　 　　　|w| １Ｇ０２ １１．已知函数f(x)的定义域为R,且f １２ æ è ç ö ø ÷≠０,若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝４xy,则 (　　) A．f －１２ æ è ç ö ø ÷＝０ B．f １２ æ è ç ö ø ÷＝－２ C．函数f x－１２ æ è ç ö ø ÷是偶函数 D．函数f x＋１２ æ è ç ö ø ÷是减函数 三、填空题:本题共３小题,每小题５分,共１５分． １２．已知集合A＝{－２,０,２,４},B＝{x||x－３|≤m},若A∩B＝A,则m的最小值为　　　　　． １３．已知轴截面为正三角形的圆锥 MM′的高与球O 的直径相等,则圆锥 MM′的体积与球O 的体积 的比值是　　　　　,圆锥 MM′的表面积与球O 的表面积的比值是　　　　　． １４．以 maxM 表示数集M 中最大的数．设０＜a＜b＜c＜１,已知b≥２a或a＋b≤１,则 max{b－a,c－ b,１－c}的最小值为　　　　　． 四、解答题:本题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． １５．(１３分)已知函数f(x)＝lnx＋x２＋ax＋２在点(２,f(２))处的切线与直线２x＋３y＝０垂直． (１)求a; (２)求f(x)单调区间和极值． １６．(１５分)盒中有标记数字１,２,３,４的小球各２个,随机一次取出３个小球． (１)求取出的３个小球上的数字两两不同的概率; (２)记取出的３个小球上的最小数字为X,求X 的分布列及数学期望E(X)． ２Ｇ０２ １７．(１５分)如图,平行六面体ABCDＧA１B１C１D１ 中,底面ABCD 是边长为２ 的正方形,O为AC 与BD 的交点,AA１＝２,∠C１CB＝∠C１CD,∠C１CO ＝４５°． (１)证明:C１O⊥平面ABCD; (２)求二面角BＧAA１ＧD 的正弦值． １８．(１７分)已知抛物线C:y２＝４x的焦点为F,过F的直线l交C 于A,B两点,过F与l垂直的直线 交C于D,E两点,其中B,D 在x 轴上方,M,N 分别为AB,DE的中点． (１)证明:直线 MN 过定点; (２)设G为直线AE 与直线BD 的交点,求△GMN 面积的最小值． ３Ｇ０２ １９．(１７分)离散对数在密码学中有重要的应用．设p是素数,集合X＝{１,２,􀆺,p－１},若u,v∈X,m ∈N,记u􀱋v为uv除以p 的余数,um,􀱋 为um 除以p 的余数;设a∈X,１,a,a２,􀱋 ,􀆺,ap－２,􀱋 两两 不同,若an,􀱋＝b(n∈{０,１,􀆺,p－２}),则称n是以a为底b的离散对数,记为n＝log(p)ab． (１)若p＝１１,a＝２,求ap－１,􀱋 ; (２)对m１,m２∈{０,１,􀆺,p－２},记m１􀱇m２ 为m１＋m２ 除以p－１的余数(当m１＋m２ 能被p－１ 整除时,m１􀱇m２＝０)．证明:log(p)a(b􀱋c)＝log(p)ab􀱇log(p)ac,其中b,c∈X; (３)已知n＝log(p)ab．对x∈X,k∈{１,２,􀆺,p－２},令y１＝ak,􀱋 ,y２＝x􀱋bk,􀱋．证明:x＝y２􀱋 yn(p－２),􀱋１ ． ４Ｇ０２ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 创新示范卷(二十) 数学答题卡 选择题 (共５８分,１~８小题,每小题５分,９~１１小题,每小题６分) 正确填涂　　　　　 　１ A B C D 　４ A B C D 　７ A B C D 　１０ A B C D 　 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 　 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 　　　　 　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 非选择题　　　　　　　　　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)十二(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)十二(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)十二(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)十二(卡题答学数 参考答案 所以Saw=2+4云+4， 这与对V∈N”,均有a.≤3矛盾，假设不成立，即对 Vn∈N,均有a≥-1： 由1D知Q受0R(受0小则QR=21a- 综上所述：对Vn∈N”,均有一1≤a,≤3， 反证：假设1为数列{4.}中的项，由(2)可得：一1,3为 =V云+4，所以Saos=2+4, 数列{an}中的项， ,-1×3-(-1)-3=-5,即-5为数列{4n1中的项， 令1=√x后十4.t≥2，则四边形ABRQ的面积S=S△Pm 这与对Vn∈N,均有-1≤a,≤3相矛盾，即对n∈ -5a=-≥2 N”,均有an≠1，同理可证：a.≠一1， an∈Z.则an∈{0,2,3， 设f0=-之f0=- 当T=1时，即数列{a}为常数列时，设4n=a,故对 i,j∈N”,i<j,都存在k>j, 当≥2时，(1)>0，即函数f(t)在[2，十∞)上是增函 使得a,=a,a,-a,-a,=a-2u=a,解得a=0或a= 数，当1=2时，面积最小为3，则四边形ABRQ面积的 3,即a,=0或dn=3符合题意： 取值范围为[3，十∞). 当T≥2时，即数列{a.}至少有两个不同项，则有： 19.解：(1)对①.取i=1,对Vj∈N,j>1,则a,=a=1, ①当0,2为数列{an}中的项，则0×2-0-2=-2，即 a,=j,可得a,a,-a,一a=j-1一j=-1.显然不存在k 一2为数列{an}中的项，但-2任(0,2,3}，不成立： >j,k∈N°，使得a=一1，所以数列(an}不满足性 ②当0,3为数列{a。}中的项，则0×3-0一3=-3，即 质P: 一3为数列{n}中的项，但一3任(0,2,3，不成立： 对②，对于i,j∈N,ij,则b=i+2,b,= ③当2,3为数列{an}中的项，则2×3-2-3=1，即1为 j+2,故bb,-b-b=(i+2)(j+2)-(i+2)-(j+2) 数列{a.}中的项，但1任{0,2,3}，不成立；综上所迷：a =i·j十i十j=(t·j十i十i-2)十2，因为i,j∈N, =0或d.=3. 1j≥2 创新示范卷（二十） 则(i·j+i+j-2)∈N”,且i·j+i+j-2 选择题答案速查 (G+1)+(j一2)≥3，所以存在(k=i·j+i+ j-2)∈N”,k>j.使得b=(i·j+i+j-2)+b=bb 题号1234567891011 一h:一b,故数列{b}满足性质P: 答案B A CC B C A D AC BCD ABD (2)若数列(a.}满足性质P,且a1=1,则有： 1.B[将这些数据从小到大排列可得：10,12,14,14,16， 取i=1,j=j1>1,j1∈N”,均存在k,>j1,k∈N,使 20,24,30,40,由中住数定义可得，其中住数为16.] 得a,=aa,-a1一4，=-1. 2.A[由椭圆的离心率公式及 取i=1,j=j2>k1j2∈N°，均存在k>j>1,k∈ N”,使得a4,=aa2a-a,=-1. 美意得=个曰-占解得a2] 取i=k1j=k>k1,均存在m1>k:>1,m1∈N,使得 3.C[因为a十a,=2a,=6,所以au=3,所以a十an=3 am,=aa%:-a4-a%=3, +17=20.所以5w=a+a)X16=8(a,+a) 故数列(a,)中存在n∈N”,使得a,=3,即{n∈Na,= 2 3}≠0， =160.] 反证：假设{n∈N”|a,=3}为有限集，其元素由小到大 4,C[对于A,m,l可能平行，相交或并面，故A错误，对 依次为n1,n,…,n(n>1), 于B,a,3可能相交或平行，故B错误，对于D,a,3可能相 取i=1,j=m,十1>n,均存在k>m,十1，k∈N”,使得 交或平行，故D错误，由线面平行性质得C正确，] 5.B[因为乙和丙之间拾有2人，所以乙丙及中间2人占 a42=a1at+1-a1-aw+1=-1. 据首四位或尾四位，①当乙丙及中间2人占据首四位，此 取i-1j=k2十1，均存在k红+1>kL十1，k1∈N”,使 时还剩末位，故甲在乙丙中间，排乙丙有A种方法，排 得4+1=aa,+1一a一a+1=一1. 甲有A:种方法，剩余两个位置两人全排列有A号种排 取=k红j=k1+1,均存在+1>k+>儿m+1∈N”,使 法，所以有AXAXA:=8种方法： 得aw+1=u,“1一u2一 =3, ②当乙丙及中间2人占据尾四位，此时还剩首位，故甲在 即m+1∈{n∈N”|a,=3}这与假设相矛盾，故集合{n∈ 乙丙中间，排乙丙有A种方法，排甲有A:种方法，剩余 Nla,=3为无限集. 两个位置两人全排列有A种排法，所以有AXA×A (3)设周期数列{a.}的周期为T≥1，T∈N”,则对Hn∈ =8种方法：由分类加法计数原理可知，一共有8+8=16 N”,均有dw=am+T, (种)排法.门 设周期数列{an}的最大项为aM,M∈N”,l≤M≤T,最 6.C[设P(x,y),由QP=(1,一3)，则Q(x-1,y十3)， 小项为av,V∈N",l≤VT, 由Q在直线1：x十2y+1=0上，可将Q(x-1,y+3)代 即对Hn∈N”,均有av≤an≤ar, 入直线【方程并化简得x十2y十6=0，即P运动轨迹E 若数列{a,)满足性质P: 为直线且与直线【平行，E上的点到1的距离d= 反证：假设aw≥4时，取i=M,j=M+T,则3k>M+ I6-1L=5,故AB.D错误.C正确.] T,k∈N”,使得a:=aw+T一aMa+T=aiM一2aM W1+2 则a4-aw=ai-3au=aw(aM-3)>0,即a:>aw 7.A[由题0e(xan20=-4an(0+开 这对HnEN”,均有av≤a,≤aM矛盾.假设不成立：则 对Hn∈N”,均有a≤3： 得2n9。-一4an91》-4(an9+1)=2an0. 1-tan 0 1-tan 0 反证：假设a、≤-2时，取i=N,j=N十T,则3k>N 则(2tan0+1)(tan0+2)=0→tan0--2或tan0= +T,k∈N”,使得ae=axaN+r一av一aw+r=a-2ay ≥4， 号，周为0c(不xam0e(-1,0),所以1an0 答案-61 数学（新） 11+sin20 _sin'0+cos'0+2sin0cos0 (a+bi)(c-di) 2'2cos 0+sin 20 2cos'0+2sin 0cos 0 (c+di)(c-di) 、=tan0+1+2an04+1-1 ac+bd-(ad-bc)i 12+(-1)一1.1 c+d )+ 2+2tan 0 8.D[由双曲线的对称性可 a'c +2abed+b d +a'd-2abed+bc 知FA=F,B, (c2+d) FB=FA,四边形 ac+bd+ad +b c AFBF,为平行四边形， (c2+d) 令|F1A|=FB|=m,则 a c +bd ta d +be F1B1=|F,A=2m, c+d 由双曲线定义可知|F:A x 1F1A=2a,故有2m-m= u+6 Ja+6X ve+d c+d 2a,即m=2a,即1FA=F:Bl=m=2a,F,B wl v+d 1F2A=4a,FA·F,B=F,A·F,Bcos∠AF,B -/(a+)(e+d)_Jae+betad +bd c+d c+d =2u×4acos∠AF,B=4,别cos∠AF,B=,即 故品品故D正门 ∠F,B=子，故∠R,BE,-,对有co∠FBE, 山.ABD[令x=号y=0,则有f位)+f2)X 1EB1+EB-EE_4a+(2a)_(2c)= 0)=f(2)1+0]=0, 2F,B·FB 2×X4a×2a 又f（2）≠0，故1+f0)=0.即f0)=-1 16a2 由e>1,故e=7.] ==名有十 [点睛]关钝点晴：本题考查双曲线的离心率，解题 关键是找到关于a、b、c之间的等量关系，本题中结合 日)-)=4x×() 题意与双曲线的定义得出|F,A、|F,B与a的具体 即f0)+f(2)f(-是)=-1，由f0)=-1.可得 关系及∠F,BF的大小，借助余弦定理表示出与a、c 有关齐次式，即可得解. f(2)r(-2)=0. 9.Ac[)-sn2x+)+os2z+7 又f(2)≠0，故f(-2)=0,故A正确， sin 2rcosinccrcsin2rsin 令y=-有f(x-)十fx)f(-2)=4红× -号n2r+s2-o2-号n2 (-2即(x-2）=一2，故高数f(x-2)是奇 -2sin2.xr,即f(x）=-2sin2.x, 禹数，有f(x+1-2)=-2+1)=-2x-2. 时于Af(x-开)=-2im(2x-)=2cos2x,易 即f(x+2)=-2红-2，即函数f(x+2)是减函数， 知其为偶函数，所以A正确： 对于B,f代x)=-2sin2x时称轴为2x=受十k,k∈Z 令x=1,有f(合）=-2×1=-2 故B正确，C错误、D正确.] p=平+经，6∈7，故B错误： 4 [点睛]关健点睛：本题关键在于利用赋值法解决 抽象函数问题，備助赋值法，得到f(0)=一1，再重新 对于Cxe(答，)2xe(xy-sm2x单满递 赋值，得到-2)=0，再得到x一2】 =-2.x. 减，则f(x)=一2sin2x单调递增，故C正确： 12.解析：由A∩B=A,故A二B, 对于D,f(x)=-√2sin2x,则sin2x∈[-1.1]， 由x一3≤m,得-m十3≤x≤m十3， 所以f(x)∈[-2.2，故D错误.] 10.BCD[设x=a+bi(a,b∈R)、e=c+di(c,d∈R): 故有4m+3, 。即m之l即m≥5 一2≥一m十3，m≥5， 对A:设x=a十bi(a,b∈R),则：2=(a十i)2=a2+2abi 即m的最小值为5. -b=a2-b+2abi,z2=(√a+6)=a2+6,故 答案：5 13.解析：设圆锥的底面圆半径为r,球的半径为R, 错说对b:。又…，9有三白 因为圆雏的轴截面为正三角形，所以图维的高h=3r, ,故B正确：对C:x-0=a十i-c-di=a一c+(6 母线1一2，由题可知：h=2R,所以球的半径R=3, 2 一d)i,则一=a一c一(b一d)i,=a一bi.=c一di,则 -w=a-bi-c十di=a-c-(h-d)i,即有g-w=x 所以国律的体积为y,=号×（✉XP)X3=哥 ,故C正确时D:品=时领 c+di 答案-62 参考答案 当X一2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、 V. 3 所以V3元 、2 有两个数字为2的小球， 2 P(X=2)= cc+cc 2 圆锥的表而积S,=rl十r2=3π2， 当X=3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、 球的表面积S,=4xR=4r×B, 有两个数字为3的小球， (2r =3πr, P(X=3)= CIC+CC! 1 所以 S_3x2 C 14" =1. 5:3x 所以X的分布列为： 答案：号1 X 14.解析：令b-a=m,c-b=n.1一c=p.其中m,n,p>0. 9 2 所以b=1一1-p, 14 7 14 {a=1-m-i-p, 若6≥2a,则b=1-n-p≥2(1-m-n-p),故2m十n 所以BX0)=1×是+2 2+3× 1 10 14 十p≥1， 17.解析：(1)连接BC1,DC,, M=max(b-a.c-6,1-c)=max(m.n.p), 因为底面ABCD是边长为24 2M≥2m. 的正方形，所以BC=DC, 因此M≥，数4M≥2m+n+p≥1，则M>} 文因为∠C,CB=∠C,CD. M≥p, CC=CC 若a+b≤1，则1一n-p十1-m一n-p≤1， 所以△CCB≌△CCD,所以BC=DC1, 即m+2n+2p≥1. 点O为线段BD中点，所以COLBD, M=maxb-a,c-b,1-c=max(m,n,p), M≥， 在△CC0中，CC=2.C0-2AC=2,∠CC0-45, 则2M≥2a,故5Mem+2n+2p>1,则MD号 2MD≥2p, 所以oCc0-g-CC0CC0 2×CC×OC →C0=2, 当m=2n=2p时，等号成立， 则CC=OC+CO→COLOC, 综上可知max6-a(一6.1-c的最小值为行 又OC∩BD=O.OCC平面ABCD,BDC平面ABCD, 所以C,OL平面ABCD 答案行 (2)由题知正方形ABCD中 AC⊥BD,C,O⊥平面AB [点睛]关健点晴：本题的关健是利用换元法，在6 CD,所以建系如图所示， ≥2a和a+b≤1前提下进行合理分类讨论，根据题 B(0,2,0),D(0,-2,0), 意得到相对应的不等式组，注意题目的条件关键词 A(2.0,0),C(一2.0,0) 是“或” C(0,0,w2),A(22,0, 15.解：1)fx)=1+2x+a,则f(2)= 1 2 +2×2+a=2 9 2),别AA=CC=(2,0, +a:由题意可得(2十口×（仁号）=-1，解得a=-3 2),AB=(-2.2.0).AD=(-2,-2.0), (2)由a=-3,故f(x)=lnx+x-3x+2, 设平面BAA的法向量为m=(无1yz1),平面DAA 则f(x)=+2x-3=2-31+1 的法向量为n=(x2y,), (2.x-1)(x-1) M·m=0·>2x+2=0→m=11,-1D, ,x>0, AB·m=0,-√2x+2为=0 故当0<r<号时)>0，当<<1时了)< AM·n=0→小2+2=0， →n=(1,-1,-1) 0,当x>1时，f(x)>0,故f(x)的单调递增区间为 AD·n=0,-2.x-2%=0, 设二面角BAA1D大小为0， (0,)1,+∞fx)的单调造减区间为(21 1 故x)有大值r()=n+(侵)广-3号+2 则cos0=m·n=3X3 -1n2,有极小值f1)=1n1+12-3×1+2=0. v1-c0s'0-2v2 31 4 16.解：(1)设“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件 所以二面角BAA-D的正孩值为2 31 M,先确定3个不同数字的小球，有C种方法， 18.解：(1)由C:y2=4x,故F(1,0),由直线AB与直线CD 然后每种小球各取1个，有C!XCxC!种取法， 垂直， 所以PD-cixcxcxc- 故两直线斜率都存在且不为0， C 设直线AB、CD分别为x=m1y十I、x=my+1,有 (2)由题意可知，X的可取值为1,2,3， 12=一1， 当X=1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、 A(xy1)、B(x4),E(x4)、D(x4y) 有两个数字为1的小球， P(X-1)-CC+CC_9 联立C:y=4缸与直线AB的方程，即有少=4· x=m1y+1. 14 答案-63 数学（新） 消去x可得y2-4m1y-4=0.4=16m+16>0 由M(2m+1.2m)、N(2m+1.2m2), 故y1十y=4m1y12=一4， 则x1十=m为十1十m1y十1=m(y十y2)+2 w-w-2m-2m-2m+品>≥2,2m×品 4m+2,故吉=2+1，梦=2m, =4, 当且仅当m=士1时，等号成立， 即M(2m+1,2m,),同理可得V(2m+1,2m2) 下证|xo-xG|≥4： 当2m+1≠2m+1时， 由抛物线的对称性，不妨设m1>0,则m4<0, 2m4-2m1 则o·y2m+1-(2m+1)x-2m-D+2m 当m>1时，有m,=-1∈(-1,0)，则点G在工轴上 月. 即y-m二m（x-2m-1)+2m=m千mm+m 2m+1 方，点Q亦在工轴上方， m-m +2m(m:十m) x_2m+1-2m:m:-2mi_ 有。1=1 十1 m:十m1 2十n1 m:千mm一2 >0，由直线MN过定点(3,0)， -1-2mm.由 y 此时xa一xa>3-(-1)=4, m:十m12十m1 mm,=-1,即y一m,十m 同理，当m:<1时，有 点G在x轴下方，点Q 1+2 1 (x-3) 亦在x轴下方， 十mm十m 有 故x=3时，有y=m十m 1一<0，故此时 m,十m (3-3)=0, o-a>4, 此时MW过定点，且该定 当且仅当m,=1时，o 点为(3,0)， =3, 当2m+1=2m+1时，即 m=m时，由me=-1, 故xa-x≥4过成 即m,=士1时， 立，且m=士1时，等号成立， 有l:x=2十1=3，亦过定点(3,0)， 故Sw=2ww×0-≥2×4X4=8. 1 故直线MN过定点，且该定点为(3,0)： (2)由A(.x1y)、B(x2y)、E(x4)、D(zy) [点睛]关键点睛：第二问关键在于借助直线联立 则l:y=二义(x一x)十，由y=4红=4x· 及第一问中韦达定理得出点的横坐标恒为一1，此时 可根据三角形的面积公式及基本不等式求取最值， 故y=为义(-)+y= 4 y:+yy+y 19.解：(1)若p=11,=2,文注意到2"=1024=93×11 44 +1, 十=4x 所以419=20,0=1. y+4y+为 (2)当p=2时，此时X={1},此时b=e=1,⑧=1， 十出，同理可得my= 4红十，联立两 故log(p).(b☒c)=0,log(p).b=0,log(p)c=0, y十y1 +y:y十2 此时log(p).(b③c)=log(p).b⊕log(p).c. 直线方程， 当p>2时，因1，a,20,…,a8相异，故a≥2， 而a∈X,故4，p互质. 即 ya+y ya+y n=log(p).(6c).n=log(p)b.n =log(p).c, y+y+y十 n=log(p).(bc).n =log(p).b.n=log(p).c. 有4红十当=红+ 则3m1,m∈N,使得a1=pm,十b,a=pm2十c, “y十y+yy,+y十y1 故a1+:=(pm,+b)(pm2十c),故a”+=bc(modp), 即4x(y,十y)+y(y+y)=4x(y+y)十y2y 设m1十n:=1(p-1)十，0≤s≤p-2,则n1①n:=s, (y十y), 因为1,2,3.…，p-1除以p的余数两两相异， 有x=y%十)二4+)，由=-4，同 且a,2a,3a,…,(p-1)a除以p的余数两两相异， 4(y+y一y-y） 故(p-1)!=[a×2a×3a,…×(p-1)a](modp),故 理yy:=-4, a-1=1modp,故ad'=bc(modp),而a"=⑧c(modp) 故x=y十y)-y(y十y) =c(modp),其中0≤n≤p-2,故s=n即log(p).(b② 4(y+:一y一y） c)=log(p)b log(p)c. =必y十yyy一出y一 (3)当b>2时，由(2)可得b=1modp,若b=1,则 4(y+y:一-） bM'=1modp也成立， -4(y十，-当一）=-1， 因为n=log(p)b,所以a"=b(modp). 4(y十y-一y） 另一方面，当⑧y0=y08=(x⑧8) 故x=一1. (a0)2》=(.x6)a2=(.x6)6=x(l)-I 过点G作GQ∥x轴，交直线MN于点Q,则SN =x(1)(mod p)=x(mod p). 2 yM-yN X fo-zG 由于x∈X,所以x=y©y-@ 答案-64