创新示范卷18 高考全真模拟卷(一)（含答题卡）-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮创新示范卷（新题型 人教B版 新教材）

创新示范卷(十八) 　　　　　高考全真模拟卷(一) 　　　　　　　　本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题(本大题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的．) １．某篮球兴趣小组７名学生参加投篮比赛,每人投１０个,投中的个数分别为８,５,７,５,８,６,８,则这组 数据的众数和中位数分别为 (　　) A．５,７　　　　　　　　B．６,７　　　　　　　　C．８,５　　　　　　　　D．８,７ ２．设椭圆的两个焦点分别为F１、F２,过F２ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F１PF２ 为等腰直角 三角形,则椭圆的离心率是 (　　) A．２２ B． ２－１ ２ C．２－１ D．２ ３．(２０２４􀅰河南模拟预测)保护环境功在当代,利在千秋,良好的生态环境既是自然财富,也是经济财 富,关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放,已知过滤过程中的污 染物的残留数量P(单位:毫克/升)与过滤时间t(单位:小时)之间的函数关系为P＝P０􀅰e－kt(t≥ ０),其中k为常数,k＞０,P０ 为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时,若前９个小时废气中的污 染物恰好被过滤掉８０％,那么再继续过滤３小时,废气中污染物的残留量约为原污染物的(　　) 参考数据:１ ５ æ è ç ö ø ÷ １ ３ ≈０．５８５． A．１２％ B．１０％ C．９％ D．１４％ ４．已知空间中,l、m、n是互不相同直线,α、β是不重合的平面,则下列命题为真命题的是 (　　) A．若α∥β,l⊂α,n⊂β,则l∥n B．若l∥α,l∥β,则α∥β C．若m∥β,n∥β,m⊂α,n⊂α,则α∥β D．若l⊥α,l∥β,则α⊥β ５．２x－y ２ x æ è ç ö ø ÷(x＋y)５ 的展开式中,x３y３ 的系数是 (　　 ) A．５ B．１５ C．２０ D．２５ ６．(２０２４􀅰湖南师大附中校考)已知等比数列{an}单调递增,且a１,a２,a３－１成等差数列,则当a１１取 最小值时,集合A＝{an|an∈N∗}中的元素之和为 (　　) A．３６ B．４２ C．５４ D．６１ ７．(２０２４􀅰湖南长沙长郡中学校联考)在三角形 ABC 中,AB → 􀅰AC → ＝０,|BC → |＝６,AO → ＝１２ (AB → ＋ AC → ),BA → 在BC → 上的投影向量为５ ６BC → ,则AO → 􀅰BC → ＝ (　　) A．－１２ B．－６ C．１２ D．１８ ８．定义在R上的函数y＝f(x),当x∈[０,２]时,f(x)＝４２－|x－１|－４,且对任意实数x∈[２k－２,２k＋１ －２](k∈N,k≥２),都有f(x)＝１２f x ２－１ æ è ç ö ø ÷,若g(x)＝f(x)－logax 有且仅有５个零点,则实数a 的取值范围是 (　　) A．( ３ １０, ３ ２２) B．( ３ ２２, ３ １００) C．( ３ １０, ３ ４８４) D．( ３ １００, ３ ４８４) 二、选择题(本大题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求．全部选对得６分,有选错的得０分,部分选对的得部分分．) ９．已知函数f(x)＝ cos２x１＋sinx ,则 (　　) A．f(x＋π)＝f(－x) B．f(x)的最大值为４－２ ２ C．f(x)是奇函数 D．f(x)的最小值为－１２ １Ｇ８１ １０．已知复数z１＝１－３i,z２＝(２－i)２,z３＝ ８＋１０i １＋i ,则 (　　) A．z１＋z２＝４＋７i B．z１,z２,z３ 的实部依次成等比数列 C．１０|z１|＝２|z２| D．z１,z２,z３ 的虚部依次成等差数列 １１．(２０２４􀅰河北沧州校联考)现有内部直径为３的球型容器,则以下几何体能够放入该球型容器内 的为 (　　) A．棱长为２的正方体 B．底面半径为１的圆,高为２的圆柱体 C．棱长为 ６的正四面体 D．三棱锥PＧABC,其中AC＝BC＝AB＝２,PA＝PB＝ ３,平面PAB⊥平面ABC 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．已知f(x)＝ x２－１的定义域为A,集合B＝{x∈R|１＜ax＜２},若B⊆A,则实数a的取值范围 是　　　　 　． １３．(２０２４􀅰河南省鹤壁模拟)设函数f(x)＝sinωx－π６ æ è ç ö ø ÷(ω＞０)在区间 π２ ,πæ è ç ö ø ÷内有零点,无极值点, 则ω的取值范围是　　　　　　 　． １４．(２０２４􀅰重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考模拟)函数f(x)＝ １x＋３ æ è ç ö ø ÷ １－２x æ è ç ö ø ÷(２x２＋ax＋b),对任 意的x≠０时,都有f(x)－f １x æ è ç ö ø ÷＝０,则a＋２b＝　　　　,函数f(x)的最小值是　　　　． 四、解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分)已知函数f(x)＝lnx－a(x－１)． (１)当a＝１时,讨论f(x)的单调性; (２)若f(x)有两个零点,求a的取值范围． １６．(１５分)近年来,短视频作为以视频为载体的聚合平台,社交属性愈发突出,在用户生活中覆盖面越 来越广泛,已逐渐成为社交平台发展的新方向,同时发展了利用短视频平台进行直播带货,成就了一批 带货主播．国内短视频领域,甲公司和乙公司两家购物平台所售商品类似,存在竞争关系． (１)现对某时段１００名观看过这两家短视频的用户与使用这两家购物平台购物的情况进行调查, 得到如下数据: 　　平台选择 年龄　　 选择甲公司购物平台 选择乙公司购物平台 合计 用户年龄段１９－２４岁 ４０ １０ ５０ 用户年龄段２５－３４岁 ２０ ３０ ５０ 合计 ６０ ４０ １００ 根据小概率值α＝０．００１的独立性检验,能否认为使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的 用户的年龄有关? ２Ｇ８１ (２)(ⅰ)若小李第一天等可能地从甲、乙两家中选一家平台购物,如果第一天去甲平台,那么第二 天去甲平台的概率为０．７;如果第一天去乙平台,那么第二天去甲平台的概率为０．８．求小李第二 天去甲平台购物的概率; (ⅱ)双十一这天,甲公司购物平台直播间进行“秒杀”抢购活动,小李一家三人能下单成功的概率 均为p(０＜p＜１),三人是否抢购成功互不影响．若x为三人下单成功的总人数,且E(X)≥１,求 p的取值范围． 参考公式:χ２＝ n(ad－bc)２ (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ,其中n＝a＋b＋c＋d． χ２ 独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值表: α ０．１ ０．０５ ０．０１ ０．００５ ０．００１ xα ２．７０６ ３．８４１ ６．６３５ ７．８７９ １０．８２８ １７．(１５分)已知四棱锥PＧABCD 中,平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC, PA＝AD＝CD＝２,PD＝２ ２,E为棱PD上一动点,点F是PB的中点． (１)求证:AE⊥CD; (２)若AB⊥PC,则是否存在点E,使得二面角PＧAEＧF 的余弦值为 ６３ ? 若存 在,求出点E的位置;若不存在,请说明理由． ３Ｇ８１ １８．(１７分)已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),四点P１(２,３),P２(０,２),P３ －２,６３ æ è ç ö ø ÷,P４ ２,６３ æ è ç ö ø ÷中 恰有三个点在椭圆C上,左、右焦点分别为F１,F２． (１)求椭圆C的方程; (２)过左焦点F１ 且不与坐标轴平行的直线l交椭圆于P,Q 两点,若线段PQ 的垂直平分线交y 轴于点D,求|PQ||OD| 的最小值． １９．(１７分)若实数数列An:a１,a２,􀆺,an(n≥２)满足|ak＋１－ak|＝１(k＝１,２,􀆺,n－１),则称数列An 为E 数列． (１)请写出一个５项的E数列A５,满足a１＝a５＝０,且各项和大于零; (２)如果一个E 数列An 满足:存在正整数i１,i２,i３,i４,i５(i１＜i２＜i３＜i４＜i５≤n)使得ai１,ai２, ai３,ai４,ai５组成首项为１,公比为－２的等比数列,求n的最小值; (３)已知a１,a２,􀆺,a２m(m≥２)为E 数列,求证: a１ ２ ,a３ ２ ,􀆺,a２m－１ ２ 为E 数列且 a２ ２ ,a４ ２ ,􀆺,a２m ２ 为E 数列”的充要条件是“a１,a２,􀆺,a２m是单调数列”． ４Ｇ８１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 创新示范卷(十八) 数学答题卡 选择题 (共５８分,１~８小题,每小题５分,９~１１小题,每小题６分) 正确填涂　　　　　 　１ A B C D 　４ A B C D 　７ A B C D 　１０ A B C D 　 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 　 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 　　　　 　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 非选择题　　　　　　　　　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)八十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)八十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)八十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)八十(卡题答学数 如果选择条件②． 若甲同学选择先回答A 类问题,得到对应的分布列为 X３ ０ m m＋n P １－p２ p１(１－p２) p１p２ E(X３)＝０×(１－p２)＋mp１(１－p２)＋(m＋n)p１p２＝ p１(m＋np２)． 若甲同学选择先回答B 类问题,得到对应的分布列为 X４ ０ n m＋n P １－p２ p２(１－p１) p１p２ E(X４)＝０×(１－p２)＋np２(１－p１)＋(m＋n)p１p２ ＝p２(n＋mp１)． 所以E(X３)－E(X４)＝(m－n)p１＞０, 所以甲同学先回答A 类问题的期望大． １９．解:(１)①A(x－x０)＋B(y－y０)＋C(z－z０)＝０,理由 如下: 设平面上除P(x０,y０,z０)任意一点坐标为Q(x,y,z), 则PQ →􀅰n＝０,即 A(x－x０)＋B(y－y０)＋C(z－z０) ＝０, 又A(x０－x０)＋B(y０－y０)＋C(z０－z０)＝０, 故过点P(x０,y０,z０),法向量为n＝(A,B,C)的平面的 方程为A(x－x０)＋B(y－y０)＋C(z－z０)＝０; ②平面的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝０,理由如下: 由①可得A(x－x０)＋B(y－y０)＋C(z－z０)＝０, 变形为Ax＋By＋Cz－Ax０－By０－Cz０＝０,令 D＝－ Ax０－By０－Cz０, 故平面的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝０; ③在x,y,z轴上的截距分别为a,b,c的平面的截距式 方程(abc≠０)为xa ＋ y b ＋ z c ＝１ ,理由如下:由②可得 平面的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝０,由于方程在 x,y,z轴上存在截距,且截距不为０,故A≠０,B≠０,C ≠０,D≠０, 变形为Ax＋By＋Cz＝－D,故 x －DA ＋ y －DB ＋ z －DC ＝ １,令－DA ＝a ,－DB ＝b ,－DC ＝c ,故在x,y,z轴上的截 距分别为a,b,c的平面的截距式方程(abc≠０)为xa ＋ y b ＋ z c ＝１ ; (２)以两个定点F１,F２ 的中点为坐标原点O,以F１,F２ 所在直线为y轴,以线段F１F２ 的垂直平分线为x 轴, 以与xOy平面垂直的直线为z 轴,建立空间直角坐标 系,则F１(０,c,０),F２(０,－c,０),设 P(x,y,z),可得| F１F２|＝２c＞０,|PF１|＋|PF２|＝２a(a＞c), 所以 x２＋(y－c)２＋z２＋ x２＋(y＋c)２＋z２＝２a, 移项得 x２＋(y－c)２＋z２＝ ２a－ x２＋(y＋c)２＋z２, 两 边 平 方 得 x２ ＋ (y －c)２ ＋z２ ＝ ４a２ － ４a x２＋(y＋c)２＋z２＋x２＋(y＋c)２＋z２, 即４a x２＋(y＋c)２＋z２＝４a２＋(y＋c)２－(y－c)２＝ ４a２＋４cy,故a x２＋(y＋c)２＋z２＝a２＋cy,两边平方 得,a２x２＋(a２－c２)y２＋a２z２＝a２(a２－c２),两边同除以 a２(a２－c２)得, x ２ a２－c２ ＋y ２ a２ ＋ z ２ a２－c２ ＝１,令b２＝a２－c２, 故曲面Γ的方程为x ２ b２ ＋y ２ a２ ＋z ２ b２ ＝１(b２＝a２－c２)． 创新示范卷(十八) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 D C A D B D A C AB ABCBCD １．D　[数据由小到大排列为５,５,６,７,８,８,８,因此,这组数 据的众数为８,中位数为７．] ２．C　[依题意,设椭圆的长轴为２a,半焦距为c,则|F１F２|＝ ２c,则|PF２|＝２c,|PF１|＝２ ２c, 于是２a＝|PF１|＋|PF２|＝２ ２c＋２c, ∴e＝ca ＝ ２c ２a＝ ２c ２ ２c＋２c ＝ ２－１．] ３．A　[因 为 前 ９ 个 小 时 废 气 中 的 污 染 物 恰 好 被 过 滤 掉 ８０％,所以 P０􀅰e－９k＝ １ ５P０ ,即e－９k＝ １５ ,所以e－３k＝ １ ５( ) １ ３ ．再继续过滤３小时,废气中污染物的残留量约 为P０􀅰e－１２k＝P０×(e－３k)４＝P０× １ ５( ) ４ ３ ≈ １５×０．５８５ ×P０≈１２％P０．] ４．D　[对 A选项:若α∥β,l⊂α,n⊂β,则l可能与n 平行或 异面,故 A错误;对B选项:若l∥α,l∥β,则α与β 可能 平行或相交,故B错误;对 C选项:若m∥β,n∥β,m⊂α, n⊂α,可能 m∥n,此时α与β 可能平行或相交,故 C 错 误;对 D选项:若l∥β,则必存在直线p⊂β,使l∥p,又l ⊥α,则p⊥α,又p⊂β,则α⊥β,故 D正确．] ５．B　[因 为 ２x－y ２ x( )(x＋y) ５ ＝２x(x＋y)５ －y ２ x (x＋ y)５,２x(x＋y)５ 的展开式通项为Tk＋１＝２xCk５􀅰x５－k􀅰yk ＝２Ck５􀅰x６－k􀅰yk,得 ６－k＝３, k＝３,{ 可得k＝３, y２ x (x＋y)５ 的展开式通项为Sr＋１＝y ２ xC r ５􀅰x５－r􀅰yr＝Cr５􀅰x４－r􀅰 yr＋２,由 r＋２＝３ ４－r＝３{ ,可得r＝１,因此 ２x－ y２ x( )(x＋y) ５ 的 展开式中,x３y３ 的系数为２C３５－C１５＝１５．] ６．D　[设等比数列{an}的公比为q≠１, 由a１,a２,a３－１成等差数列得２a２＝a１＋a３－１, 即２a１q＝a１＋a１q２－１, 整理得a１＝ １ (q－１)２ ,故{an}为正项数列, 又因为等比数列{an}单调递增,说明其公比q＞１, 于是a１１＝ q １０ (q－１)２ ． 设f(q)＝ q ５ q－１ (q＞１),则 f′(q)＝５q ４(q－１)－q５ (q－１)２ ＝ q４(４q－５) (q－１)２ ,所以当q∈ １,５４( ) 时,f′(q)＜０,f(q)单调 递减;当q∈ ５４ ,＋∞( ) 时,f′(q)＞０,f(q)单调递增, 故当q＝５４ 时,a１１＝f２(q)取最小值; 于是可求得a１＝１６,an＝a１qn－１＝１６× ５ ４( ) n－１ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５Ｇ案答 数学(新) 所以可得a２＝２０,a３＝２５,an∉N∗ (n≥４,n∈N∗ ) 所以集合A＝{an|an∈N∗ }中的元素之和为１６＋２０＋２５ ＝６１．] ７．A　[由题意,∠BAC＝９０°,O 为BC 中点,由BA → 在BC → 上 的投影向量为|BA → |cosB􀅰 BC → 　　　　 　　　 　 |BC → | ＝５６BC →, 即|BA → |cosB 　　　　 　　　 　 |BC → | ＝５６ ,又|BC → |＝６, 所以BA →􀅰BC→＝ BA→ BC→ cosB＝５６ BC → ２ ＝３０, 所以AO →􀅰BC→＝(BO→－BA→)􀅰BC→＝BO→􀅰BC→－BA→􀅰BC→ ＝３×６－３０＝－１２．] ８．C　[当x∈[０,２]时,f(x)＝４２－|x－１|－４, 故f(x)在[０,２]上的函数图象关于直线x＝１对称, 又任意实 数x∈[２k－２,２k＋１－２](k∈N,k≥２),都 有 f(x)＝１２f x ２－１( ) , 作出y＝f(x)的函数图象如图所示: ∵g(x)＝f(x)－logax 有且仅有５个零点, ∴y＝logax 的图象与y＝f(x)的图象有５个交点,显然 a＞１, ∴ loga１０＜３ loga２２＞ ３ ２{ ,解得 ３ １０＜a＜ ３４８４．] ９．AB　[由题意,函数f(x)＝ cos２x１＋sinx ,可得f(x＋π)＝ cos２(x＋π) １＋sin(x＋π)＝ cos２x １－sinx ,f(－x)＝ cos (－２x) １＋sin(－x)＝ cos２x １－sinx ,所以 A 正确;由f(x)＝ cos２x１＋sinx＝ １－２sin２x １＋sinx ＝４－ ２＋２sinx＋ １１＋sinx( ) ≤４－２ ２, 当且仅 当 sinx＝ ２２ －１ 时 等 号 成 立,故 B 正 确;由 f(－x)＝ cos (－２x) １＋sin(－x)＝ cos２x １－sinx ,所 以 f(－x)≠ －f(x),所以C不正确;由f －π３( )＝ cos －２π３( ) １＋sin －π３( ) ＝ －２－ ３＜－１２ ,所以D不正确．] １０．ABC　 [因 为 z２ ＝ (２－i)２ ＝３－４i,z３ ＝ ８＋１０i １＋i ＝ (８＋１０i)(１－i) (１＋i)(１－i) ＝９＋i ,所 以 z１ ＋z２ ＝４－７i,所 以 z１＋z２＝４＋７i,故 A正确;因为z１,z２,z３ 的实部分别为 １,３,９,所以z１,z２,z３ 的实部依次成等比数列,故 B正 确;因为z１,z２,z３ 的虚部分别为－３,－４,１,所以z１, z２,z３ 的虚部依次不成等差数列,故 D 错误; １０|z１| ＝ １０× １＋９＝２|z２|＝２×５＝１０,故 C正确．] １１．BCD　[对于 A,棱长为２的正方体的 外接球直径为２ ３＞３,故 A不符合; 对于 B,底 面 为 半 径 为１的 圆,高 为 ２ 的圆柱体的外接球半径 为 １２＋１２ ＝ ２＜３２ ,故B符合题意; 对于 C,如图,棱长为 ６的正四面体DＧ ABC 的底面中心为O,则底面外接圆的半径为r＝OA, 连接OD 则２r＝ ６sin６０°＝ ６ ３ ２ ＝２ ２,所以r＝ ２,则正四面体的 高度h＝OD＝ (６)２－(２)２＝２, 设该 几 何 体 的 外 接 球 半 径 为 R,则 R２ ＝(２－R)２ ＋ (２)２,解得R＝３２ ,所以直径２R＝３,故 C符合题意; 对于 D,设该几何体的外接球半径为R,如图, 其中 点 D 为 线 段 AB 中 点,点 E 为 △ABC中心,点F 为△PAB 的外心, 因为PA＝PB＝ ３,点D 为线段AB 中 点,所以PD⊥AB,又平面PAB⊥平面 ABC,平面PAB∩平面ABC＝AB,AB ⊂平面ABC,所以PD⊥平面 ABC,又 AC＝BC＝AB＝２,点 E 为 △ABC 中 心,所 以 CE＝ ２DE,点F 为△ABP 中心,且在线段 PD 上,设 DF＝ OE＝x, 又AE＝２DE＝２OF＝２ ３３ ,PO＝OA＝R,PF＝PD－ DF＝ ２－x,AO２＝OE２＋AE２,PO２＝OF２＋PF２,计算 可得R＝ ３５２４＜ ６ ２＜ ３ ２ ,故 D符合．] １２．解析:x２－１≥０,则x≥１或x≤－１,即A＝{x|x≥１或 x≤－１}． ①当a＝０时,B＝⌀,满足B⊆A,符合题意; ②当a＞０时,B＝{x∈R １a＜x＜ ２ a } ,所以若B⊆A, 则有１ a≥１ 或２ a≤－１ (舍),解得０＜a≤１; ③当a＜０时,B＝{x∈R ２a＜x＜ １ a } ,所以若B⊆A, 则有１ a≤－１ 或２ a≥１ (舍),解得－１≤a＜０． 综上所述,a∈[－１,１]． 答案:[－１,１] １３．解析:∵f(x)＝sin ωx－π６( )(ω＞０),依题意得π－ π ２ ≤T２ ,∴T≥π,∵T＝２πω ,∴０＜ω≤２, ∵x∈ π２ ,π( ) ,∴π２ω－ π ６＜ωx－ π ６＜πω－ π ６ , 因为 函 数 f(x)＝sin ωx－π６( )(ω＞０)在 区 间 π ２ ,π( ) 内有零点,无极值点 ∴ －π２＋kπ≤ π ２ω－ π ６＜kπ , kπ＜πω－π６≤ π ２＋kπ , ì î í ïï ï (k∈Z), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５５Ｇ案答 参考答案 解得∴ －２３＋２k≤ω＜ １ ３＋２k , k＋１６＜ω≤ ２ ３＋k , ì î í ïï ï (k∈Z) 当k＝０时,１６＜ω＜ １ ３ 满足条件, 当k＝１时,４３≤ω≤ ５ ３ 满足条件, 当k≥２时,显然不满足条件, 综上可得ω∈ １６ ,１ ３( ) ∪ ４ ３ ,５ ３[ ] 答案:ω∈ １６ ,１ ３( ) ∪ ４ ３ ,５ ３[ ] １４．解析:依题意,因为f(x)＝ １ x＋３( ) １－ ２ x( )(２x ２＋ax＋b), 则x１＝－ １ ３ ,x２＝２是f(x)的两个零点, 又f(x)＝f １x( ) ,则x３＝ １ ２ ,x４＝－３也是 f(x)的两个零点,故f １２( ) ＝０,则２× １ ４＋ １ ２a＋b＝ ０,故a＋２b＝－１; 又f(－３)＝０,故f(x)＝ １ x＋３( ) １－ ２ x( )(２x－１)(x＋３) ＝ ３x＋３x＋１０( ) ２x＋ ２ x－５( ) , 令t＝x＋１x ,则t≥２或t≤－２,故y＝(３t＋１０)(２t－５) ＝６t２＋５t－５０,对称轴是t＝－５１２ ,故当t＝－２时,即x ＝－１时,函数f(x)取得最小值－３６． 答案:－１　－３６ １５．解:(１)当a＝１,f(x)＝lnx－x＋１(x＞０),则f′(x)＝ １ x－１＝ １－x x , 令f′(x)＞０解得０＜x＜１,令f′(x)＜０解得x＞１, 所以f(x)在(０,１)单调递增,在(１,＋∞)单调递减． (２)由题意可得x＞０,f′(x)＝１x－a＝ １－ax x , 当a≤０时,f′(x)＞０恒成立,f(x)单调递增,故至多有 一个零点,不符合题意, 所以a＞０,由f′(x)＞０解得０＜x＜ １a ,由f′(x)＜０ 解得x＞１a , 所以 f(x)在 ０,１a( ) 单 调 递 增,在 １ a ,＋∞( ) 单 调 递减, 所以由零点存在性定理可得若f(x)有两个零点,则f １ a( )＝ln １ a－a １ a－１( ) ＞０,即lna－a＋１＜０, 令g(a)＝lna－a＋１,由(１)得g(a)在(０,１)单调递增, 在(１,＋∞)单调递减,又g(１)＝０,所以由g(a)＜０解 得a∈(０,１)∪(１,＋∞), 当a＞１时,e－a＜１,１a＜１ , 因为f(e－a)＝lne－a－a(e－a－１)＝－ae－a＜０, 所以由f(e－a)f １a( ) ＜０得在e －a和 １ a 之间存在一个 零点,又f(１)＝０,符合题意; 当０＜a＜１时,因为x趋近于＋∞时,f(x)趋近于负无 穷,所以函数在 １ a ,＋∞( ) 上有一个零点,又f(１)＝０, 符合题意; 所以a的取值范围为(０,１)∪(１,＋∞)． １６．解:(１)根据列联表可得χ ２＝ １００×(４０×３０－２０×１０)２ ６０×４０×５０×５０ ＝ ５０ ３≈１６．６６７ , 又P(χ ２≥１０．８２８)＝０．００１,１６．６６７＞１０．８２８,所以用户 使用哪家购物平台购物与观看这两家短视频的用户的 年龄有关,此推断犯错误的概率不大于０．００１． (２)(ⅰ)设A１＝{第一天去甲平台购物},B１＝{第一天 去乙平台购物}, A２＝{第 二 天 去 甲 平 台 购 物},根 据 题 意 得 P(A１)＝ P(B１)＝０．５,P(A２|A１)＝０．７,P(A２|B１)＝０．８,则 P(A２)＝P(A１)P(A２|A１)＋P(B１)P(A２|B１)＝０．５× ０．７＋０．５×０．８＝０．７５． (ⅱ)由题意知X~B(３,p),所以E(X)＝３p,所以E(X) ＝３p≥１,又０＜p＜１,所以１３≤p＜１ ,故p的取值范围 为 １ ３ ,１[ )． １７．解:(１)证明:∵四棱锥PＧABCD 中, 平面PAD⊥平面ABCD, AD⊥CD,AD∥BC,PA＝AD＝CD＝２,PD＝２ ２, E 为棱PD 上一动点,点F 是PB 的中点． ∴PA２＋AD２＝PD２, ∴PA⊥AD,∴PA⊥平面ABCD． ∵CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD, ∵PA∩AD＝A,∴CD⊥平面PAD, ∵AE⊂平面PAD,∴AE⊥CD． (２)由(１)可得PA⊥AD． 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD ＝AD, 所以PA⊥平面ABCD,则PA⊥AB． 因为PC⊥AB,PA∩PC＝P, 所以AB⊥平面PAC,则AC⊥AB． 因为AD＝CD＝２,AD⊥CD,所以 AC＝２ ２,∠ACD ＝４５°, 所以∠ACB＝４５°,∠ACB＝∠ABC, 所以AB＝AC＝２ ２． 如 图,以 A 为 坐 标 原 点, AB,AC,AP 所在直线为x, y,z轴, 建立 空 间 直 角 坐 标 系 A －xyz, 则A(０,０,０),B(２ ２,０,０), C(０,２ ２,０),D(－ ２,２,０), P(０,０,２),F(２,０,１), 设E(x,y,z),则PE → ＝(x,y,z －２),PD → ＝(－ ２,２,－２)． 因为E 为棱PD 上一点,设PE → ＝λPD →(０＜λ＜１), 所以(x,y,z－２)＝λ(－ ２,２,－２), 解得x＝－ ２λ,y＝ ２λ,z＝２－２λ, 所以E(－ ２λ,２λ,２－２λ)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６５Ｇ案答 数学(新) 设平面PAE 的法向量m＝(x１,y１,z１), 则 m􀅰AP → ＝０, m􀅰AE → ＝０,{ 所以 ２z１＝０, － ２λx１＋ ２λy１＋(２－２λ)z１＝０,{ 可得z１＝０,可令x１＝１,则y１＝１,所以m＝(１,１,０)． 设 平 面 AEF 的 法 向 量 为 n ＝ (x２,y２,z２ ), 则 n􀅰AF → ＝０, n􀅰AE → ＝０,{ 所以 ２x２＋z２＝０, － ２λx２＋ ２λy２＋(２－２λ)z２＝０,{ 可令x２＝１,则z２＝－ ２,可得y２＝ ２－λ λ , 所以n＝ １,２－λλ ,－ ２( ) , 所以cos‹m,n›＝ m 􀅰n |m|􀅰|n|＝ １＋２－λλ ２􀅰 １＋ ２－λλ( ) ２ ＋２ ＝ ６３ , 解得λ＝１２ ,所以当E 为PD 的中点时,二面角PＧAEＧF 的余弦值为 ６ ３． １８．解:(１)由题意的对称性易知P３ －２,６３ æ è ç ö ø ÷,P４ ２,６３ æ è ç ö ø ÷ 关于y轴对称,一定都在椭圆上． 所以P１(２,３)一定不在椭圆上．所以P２(０,２)也在椭 圆上;将P２(０,２),P４ ２,６３ æ è ç ö ø ÷ 代入椭圆方程,求得椭 圆方程为x ２ ６＋ y２ ２＝１． (２)设直线l方程 为y＝k(x＋２)(k≠０),P(x１,y１), Q(x２,y２),PQ 的中点为N． 联立 x２ ６＋ y２ ２＝１ y＝k(x＋２) { ,可得(３k２＋１)x２＋１２k２x＋１２k２－６ ＝０． 则x１＋x２＝－ １２k２ ３k２＋１ ,x１x２＝ １２k２－６ ３k２＋１ , 所以xN＝ x１＋x２ ２ ＝－ ６k２ ３k２＋１ , yN＝k － ６k２ ３k２＋１＋２( )＝ ２k ３k２＋１ , 所以点 N 坐标为 － ６k ２ ３k２＋１ , ２k ３k２＋１( ) , |PQ|＝ １＋k２􀅰２ ６ k ２＋１ ３k２＋１ ＝２ ６ (k２＋１) ３k２＋１ ; PQ垂直平分线方程为y－ ２k３k２＋１ ＝－１k x＋ ６k２ ３k２＋１( ) , 令x＝０,求得y＝ －４k３k２＋１ ,则|OD|＝ ４|k| ３k２＋１ , 所以|PQ| |OD|＝ ２ ６(k２＋１) ３k２＋１ ４|k| ３k２＋１ ＝ ６ (k２＋１) ２|k| ＝ ６ ２ |k|＋ １ |k|( ) ≥ ６． 因此,当|k|＝ １|k| ,即k＝±１时,|PQ||OD| 的最小值为 ６． １９．解:(１)由题设,|a２－a１|＝|a３－a２|＝|a４－a３|＝|a５－ a４|＝１,又a１＝a５＝０, 所以|a２|＝|a４|＝１,存在a３＝０满足条件, 又a１＋a２＋a３＋a４＋a５＝a２＋a４＞０,则a２＝a４＝１, 综上,满足题设的E 数列A５ 有０,１,０,１,０． (２)由题设,ai１,ai２,ai３,ai４,ai５ 为１,－２,４,－８,１６, 所以E 数列An 从ai１ 开始依次往后各项可能出现的数 字如下: ai１＋１{０,２},ai１＋２{－１,１,３},ai１＋３{－２,０,２,４},ai１＋４ {－３,－１,１,３,５},ai１＋５{－４,－２,０,２,４,６},ai１＋６{－ ５,－３,－１,１,３,５,７},ai１＋７{－６,－４,－２,０,２,４,６,８}, ai１＋８{－７,－５,－３,－１,１,３,５,７,９},􀆺,ai１＋１５{－１４, －１２,􀆺,１４,１６} 要使n的最小正整数i１＝１且i１－i５ 间的间隔尽量小, 又i１＜i２＜i３＜i４＜i５≤n,则ai２ ＝ai１＋３,ai３ ＝ai１＋５,ai４ ＝ai１＋９,ai５＝ai１＋１５, 综上,n的最小值为i５＝i１＋１５＝１６． (３)由 a１ ２ ,a３ ２ ,􀆺,a２m－１ ２ 为E数列,则|２２m－１－a２m－３|＝２,由 a２ ２ ,a４ ２ ,􀆺,a２m ２ 为E 数列,则|a２m－a２m－２|＝２, 又a１,a２,􀆺,a２m(m≥２)为E 数列,即|a２m －a２m－１|＝| a２m－１－a２m－２|＝|a２m－２－a２m－３|＝１, 若a１,a２,􀆺,a２m不是单调数列, 则存在a２m－a２m－１＝a２m－２－a２m－１,即a２m ＝a２m－２,显然 与|a２m－a２m－２|＝２矛盾; 或存在a２m－１－a２m－２＝a２m－３－a２m－２,即a２m－１＝a２m－３, 显然与|a２m－１－a２m－３|＝２矛盾; 综上,a１,a２,􀆺,a２m是单调数列,充分性得证; 由a１,a２,􀆺,a２m(m≥２)是单调数列且为E 数列, 所以a２m－a２m－１＝a２m－１－a２m－２＝a２m－２－a２m－３＝１,则 a２m－１－a２m－３＝a２m－a２m－２＝２, 则 |a２m－１ － a２m－３ | ＝ |a２m － a２m－２ | ＝ ２,即 a２m－１ ２ － a２m－３ ２ ＝ a２m ２ － a２m－２ ２ ＝１ , 所以 a１ ２ ,a３ ２ ,􀆺,a２m－１ ２ 、a２ ２ ,a４ ２ ,􀆺,a２m ２ 均为 E 数列,必 要性得证; 综上,a１ ２ ,a３ ２ ,􀆺,a２m－１ ２ 为E 数列且a２２ ,a４ ２ ,􀆺,a２m ２ 为E 数列”的充要条件是“a１,a２,􀆺,a２m是单调数列”． 创新示范卷(十九) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B C A A B D B D BCDABC BC １．B　[将比赛得分从小到大重新排列:８５,８７,８９,９０,９１, ９１,９２,９３,９４,９６,因为１０×８０％＝８, 所以这组数据的８０％分位数第８个数与第９个数的平 均值,即９３＋９４ ２ ＝９３．５． ] ２．C　[由抛物线定义可知|MF|等于点 M 到准线的距离, 故点 M 到x 轴的距离为|MF|－１＝３－１＝２．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７５Ｇ案答 参考答案