创新示范卷16 卷一～八滚动检测（含答题卡）-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮创新示范卷（新题型 人教B版 新教材）

创新示范卷(十六) 　　　　　　　　卷一~八滚动检测 　　　　　　　　本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题(本大题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的．) １．一组数据按从小到大的顺序排列为２,４,m,１２,１６,１７,若该组数据的中位数是极差的３５ ,则该组数 据的第４０百分位数是 (　　) A．４　　　　　　　　　　B．５　　　　　　　　　　C．６　　　　　　　　　　D．９ ２．已知椭圆C:x ２ m２ ＋y２＝１(m＞０)的离心率为１２ ,则m＝ (　　) A．３２ 或２ B．３２ C． ２ ３ ３ 或 ３ ２ D．１ ３．(２０２４􀅰浙江模拟)已知一组样本数据x１,x２,􀆺􀆺,x１０的平均数为a,由这组数据得另一组新的样 本数据y１,y２,􀆺,y１０,其中yi＝xi－２(i＝１,２,􀆺,１０),则 (　　) A．两组样本数据的平均数相同 B．两组样本数据的方差不相同 C．两组样本数据的极差相同 D．将两组数据合成一个样本容量为２０的新的样本数据,该样本数据的平均数为a－２ ４．(２０２４􀅰江苏南通市高中模拟)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C 的对边,cos(A＋B)＝－１２ ,若c ＝３且sinA＋sinB＝２ ６sinAsinB,则△ABC的面积为 (　　) A．３ ３８ B． ３ ３ ４ C． ３ ２ D．２ ５．(２０２４􀅰北京高三期末)某校组织全体学生参加了主题为“建党百年, 薪火相传”的知识竞赛,随机抽取了２００名学生进行成绩统计,发现抽 取的学生的成绩都在５０分至１００分之间,进行适当分组后(每组为左 闭右开的区间),画出频率分布直方图如图所示,下列说法正确的是 (　　) A．直方图中x的值为０􀆰００４ B．在被抽取的学生中,成绩在区间[６０,７０)的学生数为１０ C．估计全校学生的平均成绩不低于８０分 D．估计全校学生成绩的样本数据的８０％分位数约为９３分 ６．(２０２４􀅰山东济南联考)已知一组样本数据共有９个数,其平均数为８,方差为１２．将这组样本数据增加一 个数据后,所得新的样本数据的平均数为９,则新的样本数据的方差为 (　　) A．１８．２ B．１９．６ C．１９．８ D．２１．４ ７．如图１所示,双曲线具有光学性质:从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线 的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的左、右焦点分别为F１, F２,从F２ 发出的光线经过图２中的A,B 两点反射后,分别经过点C 和D,且cos∠BAC＝－ ３ ５ , AB⊥BD,则E的离心率为 (　　 ) A．５ B．１０３ C． ５ ２ D． １７ ３ １Ｇ６１ ８．已知数列{an}是各项为正数的等比数列,公比为q,在a１,a２ 之间插入１个数,使这３个数成等差 数列,记公差为d１,在a２,a３ 之间插入２个数,使这４个数成等差数列,公差为d２􀆺,在an,an＋１之 间插入n个数,使这n＋２个数成等差数列,公差为dn,则 (　　) A．当０＜q＜１时,数列{dn}单调递减 B．当q＞１时,数列{dn}单调递增 C．当d１＞d２ 时,数列{dn}单调递减 D．当d１＜d２ 时,数列{dn}单调递增 二、选择题(本大题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求．全部选对得６分,有选错的得０分,部分选对的得部分分．) ９．(２０２４􀅰淄博实验中学与齐盛高级中学联考)某单位为了激励员工努力工作,决定提高员工待遇,给员 工分两次涨工资,现拟定了三种涨工资方案,甲:第一次涨幅a％,第二次涨幅b％; 乙:第一次涨幅a＋b ２ ％ ,第二次涨幅a＋b ２ ％ ;丙:第一次涨幅 ab％,第二次涨幅 ab％． 其中a＞b＞０,小明帮员工李华比较上述三种方案得到如下结论,其中正确的有 (　　) A．方案甲和方案乙工资涨得一样多 B．采用方案乙工资涨得比方案丙多 C．采用方案乙工资涨得比方案甲多 D．采用方案丙工资涨得比方案甲多 １０．已知复数z１,z２,则下列命题成立的有 (　　) A．若|z１＋z２|＝|z１－z２|,则z１z２＝０ B．|zn１|＝|z１|n,n∈Z C．若z２１＋z２２＝０,则|z１|＝|z２| D．z１􀅰z２＝􀭵z１􀅰􀭵z２ １１．(２０２４􀅰湖北期中)抛物线的光学性质是:位于抛物线焦点处的点光源发出的每一束光经抛物线反射后 的反射线都与抛物线的对称轴平行或重合．已知抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点为F,过x轴上F右 侧一点的直线交C于A,B两点,C在A,B处的切线交于点P,直线AP,BP交y轴分别于点D,E,则 (　　) A．∠AFB＝２∠APB B．∠APB＋∠DFE＝１８０° C．２|PF|＝|AF|＋|BF| D．|AF||BF|＝ |DF|２ |EF|２ 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．(２０２４􀅰河南省鹤壁市模拟考试)从某地抽取１０００户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用 电量都在５０~６５０kW􀅰h之间,进行适当分组后(每组为左闭右开的区间),画出频率分布直方 图如图所示．若根据图示估计得该样本的平均数为３２２,则可以估计该地居民月用电量的第６０百 分位数约为　　　　． １３．已知函数f(x)＝ x x２＋１ ,x＜a, －x２＋４x＋１２ ,x≥a, ì î í ï ï ï ï ①若f(x)的最大值为a２ ,则a的一个取值为　　　 　． ②记函数f(x)的最大值为g(a),则g(a)的值域为　　　 　． １４．(２０２４􀅰韶关二模)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a＝１,且２sinA􀅰cosC＝２sinB－ sinC,则b＋c的最大值为　　 　． ２Ｇ６１ 四、解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分)已知函数f(x)＝２x３－ax２＋１２x＋b在x＝２处取得极小值５． (１)求实数a,b的值; (２)当x∈[０,３]时,求函数f(x)的最小值． １６．(１５分)(２０２４􀅰河北邯郸市高三期末)如图,在四棱锥P－ABCD 中, PD⊥平面ABCD,四边形ABCD 是等腰梯形,AB∥DC,BC＝CD＝AD ＝２,AB＝４,M,N 分别是AB,AD 的中点． (１)求证:平面PMN⊥平面PAD; (２)若二面角CＧPNＧD 的大小为６０°,求四棱锥PＧABCD 的体积． １７．(１５分)(２０２４􀅰枣庄市第八中学月考)设抛物线C:y２＝２px(p＞０)的焦点为F,点D(p,０),过F 的直线交C 于M,N 两点．当直线 MD 垂直于x 轴时,|MF|＝３． (１)①求C的方程;②若 M 点在第一象限且|MF||NF|＝ １ ４ ,求|MN|; (２)动直线l与抛物线C 交于不同的两点A,B,P 是抛物线上异于A,B 的一点,记PA,PB 的斜 率分别为k１,k２,t为非零的常数． 从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立: ①P 点坐标为(t２,２t);②k１＋k２＝ ２ t ;③直线AB经过点(－t２,０) ３Ｇ６１ １８．(１７分)(２０２４􀅰朝阳一模)基础学科招生改革试点,也称 强基计划,强基计划是教育部开展的招生改革工作,主要 是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素 质优秀或基础学科拔尖的学生．聚焦高端芯片与软件、智 能科技、新材料、先进制造和国家安全等关键领域以及国 家人才紧缺的人文社会科学领域．某校在一次强基计划模拟考试后,从全体考生中随机抽取５２ 名,获取他们本次考试的数学成绩(x)和物理成绩(y),绘制成如图散点图: 根据散点图可以看出y与x 之间有线性相关关系,但图中有两个异常点A,B．经调查得知,A 考 生由于重感冒导致物理考试发挥失常,B考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准 确,剔除这两组数据后,对剩下的数据作处理,得到一些统计的值:∑ ５０ i＝１ xi＝５８００,∑ ５０ i＝１ yi＝３９００,∑ ５０ i＝１ xiyi＝４６２７７０,∑ ５０ i＝１ (xi－􀭺x)２＝２８５４０,∑ ５０ i＝１ (yi－􀭵y)２＝１８９３０,其中xi,yi 分别表示这５０名考生的数 学成绩、物理成绩,i＝１,２,􀆺,５０,y与x 的相关系数r≈０．４５． (１)若不剔除A,B两名考生的数据,用５２组数据作回归分析,设此时y与x 的相关系数为r０．试 判断r０ 与r的大小关系(不必说明理由); (２)求y关于x 的经验回归方程(系数精确到０．０１),并估计如果B考生加了这次物理考试(已知 B考生的数学成绩为１２５分),物理成绩是多少? (精确到０．１) 附:线性回归方程ŷ＝̂a＋̂bx中:̂b＝ ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ n i＝１ (xi－􀭺x)２ ,̂a＝􀭵y－̂b􀭺x． １９．(１７分)设数阵A０＝ a１１　a１２ a２１　a２２ æ è ç ö ø ÷,其中a１１,a１２,a２１,a２２∈{１,２,３,４,５,６}．设S＝{e１,e２,􀆺,el}⊆ {１,２,３,４,５,６},其中e１＜e２＜l＜el,l∈N∗ 且l≤６．定义变换φk 为“对于数阵的每一行,若其中 有k或－k,则将这一行中每个数都乘以－１;若其中没有k且没有－k,则这一行中所有数均保持 不变”(k＝e１,e２,􀆺,el),φs(A０)表示“将A０ 经过φe１变换得到A１,再将A１ 经过φe２变换得到A２, 􀆺以此类推,最后将Al－１经过φel变换得到Al．记数阵Al 中四个数的和为Ts(A０)． (１)若A０＝ １　３ ３　６ æ è ç ö ø ÷,S＝{１,３},写出A０ 经过φ１ 变换后得到的数阵A１,并求Ts(A０)的值; (２)若A０＝ １　３ ３　６ æ è ç ö ø ÷,S＝{e１,e２,e３},求Ts(A０)的所有可能取值的和; (３)对任意确定的一个数阵A０,证明:Ts(A０)的所有可能取值的和不超过－４． ４Ｇ６１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 创新示范卷(十六) 数学答题卡 选择题 (共５８分,１~８小题,每小题５分,９~１１小题,每小题６分) 正确填涂　　　　　 　１ A B C D 　４ A B C D 　７ A B C D 　１０ A B C D 　 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 　 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 　　　　 　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 非选择题　　　　　　　　　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)六十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)六十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)六十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)六十(卡题答学数 创新示范卷(十六) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C C C B C C D D BC BCDABD １．C　[根据题意,数据按从小到大的顺序排列为２,４,m, １２,１６,１７, 则极差为１７－２＝１５,故 该 组 数 据 的 中 位 数 是１５× ３５ ＝９, 数据共６个,故中位数为m＋１２２ ＝９ ,解得m＝６, 因为６×４０％＝２．４,所以该组数据的第４０百分位数是 第３个数６．] ２．C　[因为椭圆C:x ２ m２ ＋y２＝１(m＞０),离心率为ca ＝ １ ２ , 当其焦点在x上时,a２＝m２,b２＝１,则c２＝a２－b２＝m２－ １,所以c ２ a２ ＝m ２－１ m２ ＝１４ ,又m＞０,解得m＝２ ３３ ;当其焦 点在y上时,a２＝１,b２＝m２,则c２＝a２－b２＝１－m２,所以 c２ a２ ＝１－m ２ １ ＝ １ ４ ,又m＞０,解得m＝ ３２ ; 综上,m＝２ ３３ 或m＝ ３２． ] ３．C　[对于 A,因为yi＝xi－２,所以􀭵y＝􀭺x－２,故 A错误; 对于B,因为s２y＝ １ １０∑ １０ i＝１ (yi－􀭵y)＝ １ １０∑ １０ i＝１ [xi－２－(􀭺x－２)] ＝１１０∑ １０ i＝１ [xi－􀭺x]＝s２x,所以两组样本数据的方差相同,故 B错;对 于 C,新 的 样 本 数 据 的 极 差＝y最大值 －y最小值 ＝ (x最大值 －２)－(x最小值 －２)＝x最大值 －x最小值 ,所以两组样 本数据的极差相同,故 C正确; 对于 D,样 本 容 量 为 ２０ 的 新 的 样 本 数 据 的 平 均 数 为 １０a＋１０(a－２) ２０ ＝a－１ ,故 D错．] ４．B　[在△ABC中,由cos(A＋B)＝－ １２ ,即cos(π－C) ＝－１２ ,∴cosC＝１２ ,∵C∈(０,π), ∴sinC＝ １－cos２C＝ ３２ , 由正弦定理得 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝ ３ ３ ２ ＝２ ３, ∴sinA＝ a ２ ３ ,sinB＝ b ２ ３ , ∵sinA＋sinB＝２ ６sinAsinB,∴ a ２ ３ ＋ b ２ ３ ＝２ ６􀅰 a ２ ３ 􀅰 b ２ ３ ,化简得a＋b＝ ２ab, 又由余弦定理得c２＝a２＋b２－２abcosC＝(a＋b)２－２ab －２ab􀅰１２＝ (a＋b)２－３ab, ∴９＝(２ab)２－３ab,即２(ab)２－３ab－９＝０,解得ab＝ ３或－３２ (舍), ∴△ABC的面积S＝１２absinC＝ １ ２×３× ３ ２＝ ３ ３ ４ ． ] ５．C　[由(０．００５＋０．０１０＋０．０１５＋x＋０．０４０)×１０＝１,得 x＝０．０３０,A 错;成绩在区间[６０,７０)的频率为０．０１０× １０＝０．１,人数为２００×０．１＝２０,B错;平均成绩为５５× ０．０５＋６５×０．１＋７５×０．１５＋８５×０．３＋９５×０．４＝８４,C 正确;低于９０分的频率为１－０．４＝０．６,设样本数据的 ８０％分 位 数 约 为n 分,则 n－９０１００－９０＝ ０．２ ０．４ ,解 得n＝９５, D错．] ６．C　[设增加的数为k,原来的９个数分别为a１,a２,．．．, a９ 则a１＋a２＋􀆺＋a９＝７２,a１＋a２＋􀆺＋a９＋k＝９０,所 以k＝１８,又因为 １９ ∑ ９ i＝１ (ai－８)２＝１２,即 ∑ ９ i＝１ (ai－８)２＝ １０８,所以１１０ ∑ ９ i＝１ (ai－９)２＋(k－９)２[ ]＝ １ １０ ∑ ９ i＝１ (ai－８)２－２∑ ９ i＝１ [ (ai－８)＋９＋８１]＝１９．８ ７．D　[设|AF２|＝m,|BF２|＝n, 由双曲线的定义可得|AF１|＝２a＋m,|BF１|＝２a＋n,由 cos∠BAC＝－３５ ,可得cos∠F１AF２＝ ３ ５ ,在直角三角 形AF１B 中,sin∠F１AF２＝ ２a＋n ２a＋m＝ ４ ５ ,① (２a＋n)２＋(m＋n)２＝(２a＋m)２,② 在△AF１F２ 中,可得４c２＝m２＋(２a＋m)２－２m(２a＋m) ×３５③ 由①②可得n＝２a３ ,m＝４a３ , 代入③可得４c２＝１６a ２ ９ ＋ １００a２ ９ － ８a ３× １０a ３ × ３ ５ ,即９c２＝ １７a２,则e＝ca ＝ １７ ３ ． ] ８．D　[数列{an}是各项为正数的等比数列,则公比为q＞ ０,由题 意 an＋１ ＝an ＋ (n＋１)dn,得 dn ＝ an＋１－an n＋１ ＝ an(q－１) n＋１ ,o＜q＜１时,dn＜０,有 dn＋１ dn ＝q (n＋１) n＋２ ＜１ ,dn＋１ ＞dn,数列{dn}单调递增,A 选项错误;q＞１时,dn＞０, dn＋１ dn ＝q (n＋１) n＋２ ,若数列{dn}单 调 递 增,则q (n＋１) n＋２ ＞１ , 即q＞n＋２n＋１ ,由n∈N∗ ,需要q＞３２ ,故B选项错误; d１＞d２ 时, a１(q－１) ２ ＞ a１q(q－１) ３ ,解得１＜q＜３２ , q＞１时,dn＞０,由 dn＋１ dn ＝a (q＋１) n＋２ ,若数列{dn}单 调 递 减,则q(n＋１) n＋２ ＜１ ,即q＜n＋２n＋１＝１＋ １ n＋１ ,而１＜q＜ ３２ 不能满足q＜１＋ １n＋１ (n∈N∗ )恒成立,C选项错误; d１＜d２ 时, a１(q－１) ２ ＜ a１q(q－１) ３ ,解得０＜q＜１或q＞ ３ ２ ,由 AB选项的解析可知,数列{dn}单调递增,D 选项 正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４Ｇ案答 参考答案 ９．BC　[方案甲:两次涨幅后的价格为:(１＋a％)(１＋b％) ＝１＋a％＋b％＋０．０１ab％; 方 案 乙:两 次 涨 幅 后 的 价 格 为:(１ ＋ a＋b２ ％ ) １＋a＋b２ ％( )＝１＋a％＋b％＋０．０１ a＋b ２( ) ２ ％; 方案丙:两次涨幅后的价格为:(１＋ ab％)(１＋ ab％) ＝１＋２ ab％＋０．０１ab％; 因为a＞b＞０,由均值不等式a＋b≥２ ab,当且仅当a ＝b时等号成立, 故 a＋b ２( ) ２ ≥ab,因为a≠b,所以 a＋b２( ) ２ ＞ab,a＋b＞ ２ ab, 所以采用方案乙工资涨得比方案甲多,采用方案甲工资 涨得比方案丙多,采用方案乙比方案丙工资涨的多．] １０．BCD　[对于 A,当z１＝１＋i,z２＝１－i时,|z１＋z２|＝２ ＝|z１－z２|,而z１z２＝２≠０,A 错误;对于 B,令z１＝r (cosθ＋isinθ),r≥０,θ∈R,则zn１＝rn(cosnθ＋isinnθ), 于是|zn１|＝rn|cosnθ＋isinnθ|＝rn,而|z１|＝r,即有|z１ |n＝rn,因此|zn１|＝|z１|n 成立,B正确; 设复数z１＝a＋bi(a,b∈R),z２＝c＋di(c,d∈R), 对于 C,由z２１＋z２２＝０,得(a２－b２＋c２－d２)＋(２ab＋ ２cd)i＝０,则 a ２－b２＋c２－d２＝０, ２ab＋２cd＝０,{ |z１| ２ －|z２|２ ＝ ( a２＋b２)２－( c２＋d２)２＝０,因此 |z１|＝|z２|,C正确; 对于 D,z１􀅰z２＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc) i,则z１􀅰z２＝(ac－bd)－(ad＋bc)i, 􀭵z１􀅰􀭵z２＝(a－bi)(c－di)＝(ac－bd)－(ad＋bc)i,因此 z１􀅰z２＝􀭵z１􀅰􀭵z２,D正确．] １１．ABD　[设直线FA,FB 在C 上的反射线分别为AM, BN,则AM∥BN∥x轴, 设G,H 分别为线段PA,PB 延长线上的点, 结合光的反射定律可知∠PAF＝∠GAM＝α,∠PBF＝ ∠HBN＝β, 由几何关系可知∠APB＝α＋β,设AB 交x 轴于M, 则∠AFB＝∠AFM＋∠BFM＝２α＋２β,所以∠AFB＝ ２∠APB,故 A正确; 设A(x１,y１),其中y１＞０,C在A 处的切线的斜率为k１ ＝ p２x１ ,故 C在A 处的切线方程为y＝ p２x１ (x－x１) ＋ ２px１,令x＝０,则y＝ ２px１ ２ ,即D ０, ２px１ ２ æ è ç ö ø ÷, 故直线DF 的斜率为k２＝－ ２x１ p , 所以k１k２＝－１,故AD⊥DF,同理可知BE⊥EF, 因为四 边 形 PDFE 的 内 角 和 为 ３６０°,所 以 ∠APB＋ ∠DFE＝１８０°,故B正确; 设B(x２,y２),其中y２＜０, 同上可知抛物线C在B 处的切线方程为y＝ p２x２ (x－ x１)－ ２px２, 求得 P － x１x２, ２px１－ ２px２ ２ æ è ç ö ø ÷,所 以|PF|２＝ x１x２＋ p(x１＋x２) ２ ＋ p２ ４ , 且由抛物线的几何性质可知|AF|＝x１＋p２ ,|BF|＝x２ ＋p２ ,所以|PF|２＝|AF|􀅰|BF|, ２|PF|＝２ |AF|􀅰|BF|≤|AF|＋|BF|, 当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立,故 C错误; 设O 为 坐 标 原 点,由 △AFD∽ △DFO,则|AF|＝ ２|DF|２ p ,同理|BF|＝２|EF| ２ p , 所以|AF| |BF|＝ |DF|２ |EF|２ ,故 D正确．] １２．解析:由题意可得 ４００x＋６００y＋０．３６＋０．９＋０．３６＝３２２１００ １００(２y＋x＋０．００１８＋０．００３＋０．０００６)＝１ { ,解 得 x＝ ０．００２２,y＝０．００１２, 由０．１２＋０．１８＋０．３＝０．６知,估计该地居民月用电量 的第６０百分位数约为３５０． 答案:３５０ １３．解析:由解析式可知G(x)＝ x x２＋１ 是定义域为 R的奇 函数,且 当 x＞０ 时,G (x)＝ x x２＋１ ＝ １ x＋１x ≤ １ ２ x􀅰１x ＝１２ ,当且仅当x＝１时等号成立; h(x)＝－x２＋４x＋ １２ ＝－ (x－２)２＋ ９２ ,两函数如图 所示: 由图可知,当a≤２时,f(x)的最大值为h(x)＝９２ , 当２＜a＜４时,f(x)的最大值为h(x)在区间[a,４]的最 大值,即为h(a),１２＜h (a)＜９２ , 当a≥４时,f(x)的最大值为G(x)max＝ １ ２ ; ①若满足f(x)max＝ a ２ ,当a≤２时,f(x)＝９２⇒a＝９ , 不符题意; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４Ｇ案答 数学(新) 当２＜a＜４时,f(x)max＝h(a)＝－a２＋４a＋ １ ２＝ a ２ ,解得 a＝７＋ ５７４ 或a＝７－ ５７４ (舍去) 当a≥４时,f(x)max＝ １ ２⇒a＝１ ,不符题意; ②综上所述,根据函数图象可知函数f(x)的最大值为 g(a)∈ １２ ,９ ２[ ]． 答案:①７＋ ５７４ 　② １ ２ ,９ ２[ ] １４．解析:∵２sinA􀅰cosC＝２sinB－sinC, ∴利用正弦定理可得:２acosC＝２b－c, ∴利用余弦定理可得:２a􀅰a ２＋b２－c２ ２ab ＝２b－c ,整理可 得:b２＋c２－a２＝bc, ∴cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ bc ２bc＝ １ ２ , ∵A∈(０,π),∴A＝π３ ,∵a＝１, ∴由 bsinB＝ c sinC＝ a sinA＝ １ ３ ２ ＝ ２ ３ ,可 得:b＋c＝ ２ ３ (sinB＋sinC),将C＝２π３ －B ,代入化简可得:b＋c ＝２ ３ (sinB＋sinC)＝２ ３ sinB＋sin ２π３－B( )[ ]＝ ２ ３ sinB＋ ３２cosB＋ １ ２sinB æ è ç ö ø ÷ ＝ ３sinB＋cosB＝ ２sin B＋π６( ) , ∵π６＜B＋ π ６＜ ５π ６ , ∴当B＋π６＝ π ２ 时,即B＝π３ 时,b＋c的最大值为２． 答案:２ １５．解:(１)f′(x)＝６x２－２ax＋１２, 因为f(x)在x＝２处取极小值５,所以f′(２)＝２４－４a ＋１２＝０,得a＝９, 此时f′(x)＝６x２－１８x＋１２x＝６(x－１)(x－２),所以f(x) 在(１,２)上单调递减,在(２,＋∞)上单调递增, 所以f(x)在x＝２时取极小值,符合题意, 所以a＝９,f(x)＝２x２－９x２＋１２x＋b． 又f(２)＝４＋b＝５,所以b＝１． (２)f(x)＝２x３－９x２＋１２x＋１,所以f′(x)＝６(x－１) (x－２)． 列表如下: x ０ (０,１) １ (１,２) ２ (２,３) ３ f′(x)　 ＋ ０ － ０ ＋ f(x) １ ↗ 极大值６ ↘ 极小值５ ↗ １０ 由于１＜５,故x∈[０,３]时,f(x)min＝f(０)＝１． １６．解:(１)证明:连接DM,显然DC∥BM 且CD＝BM, ∴四边形BCDM 为平行四边形, ∴DM∥BC且DM＝BC,∴△AMD 是正三角形, ∴MN⊥AD, 又∵PD⊥平面ABCD,MN⊂平面ABCD,∴PD⊥MN． PD∩AD＝D,∴MN ⊥ 平 面 PAD,又 MN ⊂ 平 面 PMN,∴平面PMN⊥平面PAD． (２)连接BD,易知BD ∥MN,∴BD⊥AD,BD ⊥PD． 建立如图所示的空间 直角坐标系,则 D(０, ０,０),N(１,０,０), C(－１,３,０)． 设P(０,０,m)(m＞０), ∴PN → ＝(１,０,－m),CN → ＝(２,－ ３,０)． 设平面PNC的法向量为a＝(x,y,z), ∴ a􀅰PN → ＝０, a􀅰CN → ＝０,{ 即 x－mz＝０, ２x－ ３y＝０,{ 令z＝ ３,a＝(３m,２m,３), 而平面PND 的一个法向量为b＝(０,１,０), |cos‹a,b›|＝cos６０°＝ ２m ３m２＋４m２＋３ ＝１２ , 解得m＝ ３３ ,所以V＝１３× １ ２× (２＋４)× ３× ３３＝１． １７．解:(１)①抛物线的准线为x＝－p２ ,当 MD 与x 轴垂 直时,点 M 的横坐标为p, 此时|MF|＝p＋p２＝３． 所以p＝２,所以抛物线C的方程为y２＝４x; ②设直线方程为x＝λy＋１,M(xM ,yM)、N(xN ,yN), 由 y ２＝４x x＝λy＋１{ 可得y ２－４λy－４＝０, 所以yM＋yN＝４λ,yMyN＝－４, 由|MF| |FN|＝ １ ４ 得 yM －yN ＝１４． 解得yM＝１,yN＝－４．从而λ＝－ ３ ４． |MN|＝xM＋xN＋p＝λ(yM＋yN)＋２＋p＝ ２５ ４． (２)由①②⇒③． 由题意:设直线AB 为:x＝my＋n, 且A(x１,y１),B(x２,y２), 由y２＝４x, x＝my＋n,⇒y２－４my－４n＝０, 所以y１＋y２＝４m,y１y２＝－４n(∗ ), k１＝ y１－２t x１－t２ ＝y１－２t y２１ ４－t ２ ＝ ４y１＋２t ,同理k２＝ ４ y２＋２t , 故k１＋k２＝ ４ y１＋２t ＋ ４y２＋２t ＝２t , 所以 ２(y１＋y２)＋８t y１y２＋２t(y１＋y２)＋４t２ ＝１t , 将(∗ )代入上式整理得:n＝－t２, 所以直线AB 为x＝my－t２, 即my＝x＋t２ 所以直线AB 经过点(－t２,０)． 选择由①③⇒②． 由题意直线AB 为:x＝my－t２, 且A(x１,y１),B(x２,y２)． 由 x＝my－t２ y２＝４x{ ⇒y ２－４my＋４t２＝０, 所以y１＋y２＝４m,y１y２＝４t２． k１＝ y１－２t x１－t２ ＝y１－２t y２１ ４－t ２ ＝ ４y１＋２t , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４Ｇ案答 参考答案 同理k２＝ ４ y２＋２t , 所以k１＋k２＝ ４ y１＋２t ＋ ４y２＋２t ＝ ４(y１＋y２)＋１６t y１y２＋２t(y１＋y２)＋４t２ ＝１６m＋１６t ８t２＋８mt ＝２ (m＋t) t(m＋t)＝ ２ t． 选择②③⇒① 由题意直线AB 为:x＝my－t２, 且A(x１,y１),B(x２,y２),P(x２０,２x０), 由 x＝my－t２ y２＝４x{ ⇒y ２－４my＋４t１＝０, 所以y１＋y２＝４m,y１y２＝４t２(∗ ), k１＝ y１－２x０ x１－x２０ ＝y１－２x０ y２１ ４－x ２ ０ ＝ ４y１＋２x０ , 同理:k２＝ ４ y２＋２x０ , 所以k１＋k２＝ ４ y１＋２x０ ＋ ４y２＋２x０ ＝ ４(y１＋y２)＋１６x０ y１y２＋２x０(y１＋y２)＋４x２０ , 所以 ２(y１＋y２)＋８x０ y１y２＋２x０(y１＋y２)＋４x２０ ＝１t , 将(∗ )代入上式整理得:(t－x０)(t－x０－２m)＝０(∗∗ ), 且(∗∗)式对任意的m 成立, 所以t－x０＝０,即x０＝t,所以P(t２,２t)． １８．解:(１)r０＜r 理由如下:由题图可知,y与x 成正相关关系, ①异常点A,B 会降低变量之间的线性相关程度, ②５２个数据点与其经验回归直线的总偏差更大,回归 效果更差,所以相关系数更小, ③５０个数据点与其回归直线的总偏差更小,回归效果 更好,所以相关系数更大, ④５０个数据点更贴近其回归直线l, ⑤５２个数据点与其回归直线更离散． (２)由题中数据可得:􀭺x＝１５０∑ ５０ i＝１ xi＝１１６,􀭵y＝ １ ５０∑ ５０ i＝１ yi＝７８ 所以∑ ５０ i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y)＝∑ ５０ i＝１ xiyi－５０􀭺x􀭵y＝１０３７０,所以 b̂＝ ∑ ５０ i＝１ (xi－􀭺x)(yi－􀭵y) ∑ ５０ i＝１ (xi－􀭺x)２ ＝１０３７０２８５４０≈０．３６ , â＝􀭵y－̂b􀭺x＝７８－０．３６×１１６＝３６．２４, 所以ŷ＝０．３６x＋３６．２４, 将x＝１２５代入,得y＝０．３６×１２５＋３６．２４＝８１．２４≈ ８１．２, 所以估计B 考生的物理成绩约为８１．２分． １９．解:(１)因为A０＝ １　３ ３　６( ) ,S＝{１,３}, A０ 经过φ１ 变换后得到的数阵A１＝ 　１　　３ －３　－６( ) , A１ 经过φ３ 变换后得到的数阵A２＝ －１　－３ ３ ６( ) , 所以Ts(A０)＝１＋３－３－６＝－５． (２)若S＝{２,４,５},则A３＝A０,可得Ts(A０)＝１＋３＋３ ＋６＝１３; 若e１＝１,e２,e３∈{２,４,５},则 A３＝ －１　－３ 　３　　６( ) ,可 得 Ts(A０)＝－１－３＋３＋６＝５; 若e３＝６,e１,e２∈{２,４,５},则 A３＝ 　１　　３ －３　－６( ) ,可 得 Ts(A０)＝１＋３－３－６＝－５; 若e１,e３,e２ 其中一个为３,另外两个属于{２,４,５},则A３ ＝ －１　－３－３　－６( ) , 可得Ts(A０)＝－１－３－３－６＝－１３; 若e１＝１,e２∈{２,４,５},e３＝６,则 A３＝ －１　－３ －３　－６( ) ,可 得Ts(A０)＝－１－３－３－６＝－１３; 若e１＝１,e２,e３ 其中一个为３,另外一个属于{２,４,５}, 则A３＝ 　１　　３ －３　－６( ) ,可 得 Ts(A０)＝１＋３－３－６＝ －５; 若e３＝６,e１,e２ 其中一个为３,另外一个属于{２,４,５}, 则A３＝ －１　－３ ３ ６( ) ,可 得 Ts(A０)＝－１－３＋３＋６ ＝５; 若e１＝１,e２＝３,e３＝６,则A３＝A０,可得Ts(A０)＝１＋３ ＋３＋６＝１３; 综上所述:Ts(A０)的所有可能取值的和为１３＋(－１３) ＋５＋(－５)＝０． (３)若a１１≠a１２,在{１,２,３,４,５,６}的所有非空子集中, 含有a１１且不含a１２的子集共２４ 个,经过变换后第一行 均变为－a１１、－a１２; 含有a１２且不含a１１的子集共２４ 个,经过变换后第一行 均变为－a１１、－a１２; 同时含有a１１和a１２的子集共２４ 个,经过变换后第一行 仍为a１１、a１２; 不含a１１也不含a１２的子集共２４－１个,经过变换后第一 行仍为a１１、a１２． 所以经过变换后所有Al 的第一行的所有数的和为２４ ×(－a１１－a１２)＋２４×(－a１１－a１２)＋２４×(a１１＋a１２)＋ (２４－１)×(a１１＋a１２)＝－a１１－a１２． 若a１１＝a１２,则{１,２,３,４,５,６}的所有非空子集中,含有 a１１的子集 共 ２５ 个,经 过 变 换 后 第 一 行 均 变 为－a１１、 －a１２; 不含有a１１的子集共２５－１个,经过变换后第一行仍为 a１１、a１２． 所以经过变换后所有Al 的第一行的所有数的和为２５ ×(－a１１－a１２)＋(２５－１)×(a１１＋a１２)＝－a１１－a１２． 同理,经过变换后所有Al 的第二行的所有数的和为－ a２１－a２２． 所以Ts(A０)的所有可能取值的和为－a１１－a１２－a２１ －a２２, 又因为a１１、a１２、a２１、a２２∈{１,２,􀆺,６},所以Ts(A０)的所 有可能取值的和不超过－４． 创新示范卷(十七) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 B D A B C B A A BD BD ACD １．B　[由题意可知,众数是４,A 错;中位数为７＋８２ ＝７．５ , D错;平均数为 ４＋４＋４＋７＋７＋８＋８＋９＋９＋１０ １０ ＝７ ,B 对;因 为 为 １０ ×７５％＝７．５,所以第７５百分位数为第８个数９,C错．] ２．D　[椭圆y ２ １００＋ x２ ３６＝１ 中a２＝１００,b２＝３６,所以a＝１０,b ＝６,由椭圆的定 义 可 得|PF１|＋|PF２|＝２a＝２０,又| PF１|＝４,所以|PF２|＝１６,即点P 到另一个焦点F２ 的 距离是１６．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５Ｇ案答 数学(新)