创新示范卷15 卷一七滚动检测（含答题卡）-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮创新示范卷（新题型 人教B版 新教材）

创新示范卷(十五) 　　　　　　　卷一~七滚动检测 　　　　　　　　　本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题(本大题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的．) １．设集合 M＝ x ２－１x＜x{ },N＝{x|ln(２ x－１)≤０},则 M∩N 等于 (　　 ) A．(０,１)∪(１,＋∞) B．(０,１] C．(０,１) D．(０,＋∞) ２．已知双曲线的标准方程为 x ２ k－４＋ y２ k－５＝１ ,则该双曲线的焦距是 (　　) A．１ B．３ C．２ D．４ ３．(２０２４􀅰淮南二模)在正方体ABCDＧA１B１C１D１ 中,点E,F 分别为棱BC,CC１ 的中点,过点A,E, F作平面截正方体所得图形是 (　　) A．三角形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．平面五边形 ４．(２０２４􀅰湖南模拟)已知F１,F２ 分别为椭圆C: x２ ６＋ y２ ２＝１ 的两个焦点,P为椭圆上一点,则|PF１|２＋ |PF２|２－２|PF１||PF２|的最大值为 (　　) A．６４ B．１６ C．８ D．４ ５．(２０２４􀅰广东省广州市天河区模拟)已知a,b是相互垂直的单位向量．若向量OA → ＝a－b,OB → ＝２a＋ b,则向量OA → 在向量AB → 上的投影向量为 (　　) A．１５a＋ ２ ５b B．－ １ ５a－ ２ ５b C． ２ ５a＋ １ ５b D．－ ２ ５a－ １ ５b ６．(２０２４􀅰汕头一模)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b) sinC,若a＝２,则△ABC的面积的最大值是 (　　) A．１ B．３ C．２ D．２ ３ ７．(２０２４􀅰无锡模拟)已知点P 在双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)上,P 到两渐近线的距离为d１, d２,若d１d２≤ １ ２|OP| ２ 恒成立,则C的离心率的最大值为 (　　) A．２ B．３ C．２ D．５ ８．(２０２４􀅰山西模拟)已知点A１(０,３),A２(０,－３),动点P满足kPA１􀅰kPA２＝－ １ ２ ,点Q满足QA１⊥PA１, QA２⊥PA２．则 S△PA１A２ S△QA１A２ 等于 (　　) A．２ B．３ C．４ D．５２ 二、选择题(本大题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求．全部选对得６分,有选错的得０分,部分选对的得部分分．) ９．(２０２４􀅰滨州市模拟)已知圆锥曲线C:x ２ ４－ y２ b＝１ ,若三个数１,b２,７成等差数列,则C的离心率为 (　　) A．１２ B． ６ ２ C． ２ ２ D．２ １Ｇ５１ １０．已知z１,z２ 是两个虚数,则下列结论中正确的是 (　　) A．若z１＝􀭵z２,则z１＋z２ 与z１z２ 均为实数 B．若z１＋z２ 与z１z２ 均为实数,则z１＝􀭵z２ C．若z１,z２ 均为纯虚数,则 z１ z２ 为实数 D．若 z１ z２ 为实数,则z１,z２ 均为纯虚数 １１．(２０２４􀅰肥城市教学研究中心高三模拟)已知函数f(x)＝ xex,x＜１, ex x３ ,x≥１,{ 函数g(x)＝xf(x),下列选项正确 的是 (　　) A．点(０,０)是函数f(x)的零点 B．∃x１∈(０,１),x２∈(１,３),使f(x１)＞f(x２) C．函数f(x)的值域为[－e－１,＋∞) D．若关于x 的方程[g(x)]２－２ag(x)＝０有两个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是 ２ e２ ,e ２ ８ æ è ç ù û úú∪ e ２ ,＋∞æ è ç ö ø ÷ 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．(２０２４􀅰广东高三统考)椭圆与正方形是常见的几何图形,具有对称美感, 受到设计师的青睐．现有一工艺品,其图案如图所示:基本图形由正方形和 内嵌其中的“斜椭圆”组成(“斜椭圆”和正方形的四边各恰有一个公共点)． 在平面直角坐标系xOy中,将标准椭圆绕着对称中心旋转一定角度,即得“斜椭圆”C:x２＋y２－ xy＝３,则“斜椭圆”的离心率为　　　　　． １３．(２０２４􀅰福建漳州统考模拟)已知长方体ABCDＧA１B１C１D１ 的底面是边长为２ ２的正方形,若 cos‹AB → ,AC１ → ›＝ ３３ ,则该长方体的外接球的表面积为　　　　;记e１,e２ 分别是AB → ,AD → 方向上的单 位向量,且|a|＝２ ６,a􀅰e１＝a􀅰e２＝２ ２,则 a－me１－ne２ (m,n为常数)的最小值为　　　　． １４．(２０２４􀅰济南模拟)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零 件的截面如图所示,O１ 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,O２ 为圆弧CD 所在圆的圆心,点A 是圆弧AB 与直线AC 的切点,点 B是圆弧AB 与直线BD 的切点,点C 是圆弧CD 与直线AC 的 切点,点D 是圆弧CD 与直线BD 的切点,O１O２＝１８cm,AO１＝ ６cm,CO２＝１５cm,圆孔O１ 的半径为３cm,则图中阴影部分的面 积为　　　　cm２． 四、解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分)(２０２４􀅰怀化模拟)已知{an}为等差数列,各项为正的等比数列{bn}的前n项和为Sn,且 ２a１＝b１＝２,a２＋a８＝１０,　　　　．在①λSn＝bn－１(λ∈R);②a４＝S３－２S２＋S１;③bn＝２λan(λ∈ R)这三个条件中任选一个,补充在上面的横线上,并完成下面问题的解答(如果选择多个条件解 答,则按第一个解答计分)． (１)求数列{an}和{bn}的通项公式; (２)求数列{an＋bn}的前n项和Tn． ２Ｇ５１ １６．(１５分)(２０２４􀅰福建省福清第一中学月考)如图,在平面四边形ABCD 中, AB⊥AD,∠ABC＝２３π ,AB＝１． (１)若AC＝ ７,求△ABC的面积; (２)若∠ADC＝π３ ,CD＝２ ３,求tan∠CAD． １７．(１５分)(２０２４􀅰珠海模拟)如图,四棱锥PＧABCD 中,四边形ABCD 为平行四 边形,AD⊥BD,AC∩BD＝O,AD＝BD＝２,PB⊥PD,PB＝PD,PA＝PC,M 为PD 中点． (１)求证:OM∥平面PBC; (２)求证:平面PAD⊥平面PBD; (３)求二面角AＧPBＧC 的余弦值． ３Ｇ５１ １８．(１７分)已知函数f(x)＝１２ax－a＋１－ lnx x ,其中a∈R． (１)若f(x)为单调递减函数,求a的取值范围; (２)若f(x)有两个不同的零点,求a的取值范围． １９．(１７分)阅读材料:在平面直角坐标系中,若点 M(x,y)与定点F(c,０)(或F′(－c,０)的距离和它 到定直线l:x＝a ２ c (或l′∶x＝－a ２ c )的距离之比是常数c a (０＜c＜a),则 (x－c)２＋y２ a２ c－x ＝ca ,化简 可得x ２ a２ ＋ y ２ a２－c２ ＝１,设b２＝a２－c２(b＞０),则得到方程x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０),所以点 M 的轨迹 是一个椭圆,这是从另一个角度给出了椭圆的定义．这里定点F(c,０)是椭圆的一个焦点,直线l: x＝a ２ c 称为相应于焦点F 的准线;定点F′(－c,０)是椭圆的另一个焦点,直线l′:x＝－a ２ c 称为相 应于焦点F′的准线． 根据椭圆的这个定义,我们可以把到焦点的距离转化为到准线的距离．若点 M(x,y)在椭圆x ２ a２ ＋ y２ b２ ＝１(a＞b＞０)上,F(c,０)是椭圆的右焦点,椭圆的离心率e＝ca ,则点 M(x,y)到准线l:x＝a ２ c 的距离为a ２ c－x ,所以|MF|＝ca× a２ c－x æ è ç ö ø ÷＝a－cax＝a－ex ,我们把这个公式称为椭圆的焦半 径公式． 结合阅读材料回答下面的问题: 已知椭圆C:x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的右焦点为F,点P 是该椭圆上第一象限的点,且PF⊥x轴, 若直线l:x＝９是椭圆右准线方程,点P 到直线l的距离为８． (１)求点P 的坐标; (２)若点 M,N 也在椭圆C 上且△MNP 的重心为F,判断|FM|,|FP|,|FN|是否能构成等差数 列? 如果能,求出该等差数列的公差,如果不能,说明理由． ４Ｇ５１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 创新示范卷(十五) 数学答题卡 选择题 (共５８分,１~８小题,每小题５分,９~１１小题,每小题６分) 正确填涂　　　　　 　１ A B C D 　４ A B C D 　７ A B C D 　１０ A B C D 　 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 　 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 　　　　 　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 非选择题　　　　　　　　　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)五十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)五十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)五十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)五十(卡题答学数 １９．解:(１)lT(a２)＝dT(a２,a１)＋dT(a２,a３)＋ dT(a２,a４), (a１,a２),(a３,a２),(a２,a４)∈T,dT(a２,a１)＝ dT(a２,a３)＝０,dT(a２,a４)＝１,所以lT(a２)＝１; lT(a４)＝dT(a４,a１)＋dT(a４,a２)＋dT(a４,a３),(a１,a２), (a３,a２),(a２,a４)∈T, dT(a４,a２)＝０,lT(a４)最大,则dT(a４,a１)＝ dT(a４,a３)＝１,所以lT(a４)最大值为２． (２)设lT(a１),􀆺,lT(an)中的最大值为lT(ak),由定义, lT(ak)≤n－１, 若存在lT(ak)＝lT(am)＝n－１,k≠m, 则∀i∈N∗ ,(ak,ai)∈T,∀i∈N∗ ,(am,ai)∈T,进而 (ak,am)∈T,(am,ak)∈T,矛盾． 于是除lT(ak)外,剩余的lT(ai)≤n－２由定义,T 中恰 有 C２n 个元素,lT(a１)＋􀆺＋lT(an)＝C２n, 设删去的两个数为A,B,则lT(a１)＋􀆺＋lT(an)－A－ B≥C２n－(n－１)－(n－２)＝ １ ２n ２－５２n＋３ , 构造T＝{(ai,aj)|ai∈S,aj∈S,i＜j},删去 lT(a１),lT(a２),恰好取得等号． 所以 M 的最小值为１２n ２－５２n＋３． (３)结论:集合S中存在满足条件的三个不同的元素e, f,g,证明如下: 设lT(ai),i＝１,２,􀆺,n,中的一个最大值为lT (ak),由 lT(ak)＜n－１得lT(ak)≤n－２, 于是∃u≠k,dT(ak,au)＝０,进而dT(au,ak)＝１ 考虑lT(au)＝dT(au,a１)􀆺＋dT(au,ak)＋􀆺,lT(ak)＝ dT(ak,a１)􀆺＋dT(ak,au)＋􀆺, 由于dT(au,ak)＝１,dT(ak,au)＝０,而lT(au)≤lT(ak) 于是一定存在不同于u,k的ν,使得dT (au,aν)＝０,dT (ak,aν)＝１,进而dT (aν,au)＝１,于是dT (au,ak)＋dT (ak,aν)＋dT(aν,au)＝３,取e＝au,f＝ak,g＝aν 即可． 创新示范卷(十五) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C C C B B B A A BC ABC BC １．C　[由２－１x＜x ,解得x＞０且x≠１,故集合 M＝{x|x ＞０,且x≠１},由０＜２x－１≤１,解得０＜x≤１,所以 N＝ {x|０＜x≤１},所以 M∩N＝{x|０＜x＜１}．] ２．C　[由双曲线方程可知a２＝k－４,b２＝５－k,所以c２＝k －４＋５－k＝１,c＝１,２c＝２．] ３．C　 ４．B　[|PF１|２＋|PF２|２－２|PF１||PF２|＝(|PF１|－ |PF２|)２,因为椭圆上的点P 满足|PF１|－|PF２|≤ |F１F２|,当点P 为F１F２ 的延长线与C的交点时,|PF１| －|PF２|取得最大值,最大值为|F１F２|＝４．所以|PF１|２ ＋|PF２|２－２|PF１||PF２|的最大值为１６．] ５．B　[因为a,b是相互垂直的单位向量, 所以a􀅰b＝０,a２＝b２＝１． 又OA → ＝a－b,OB → ＝２a＋b,所以AB → ＝OB → －OA → ＝a＋２b, 所以|AB → |＝ (a＋２b)２＝ a２＋４a􀅰b＋４b２＝ ５, 又OA →􀅰AB→＝(a－b)(a＋２b)＝a２＋a􀅰b－２b２＝－１, 所以 向 量OA → 在 向 量AB → 上 的 投 影 向 量 为OA →􀅰AB→ 　　　　　 　　　　 　 |AB → | 􀅰 AB → 　　　　　 　　　　 　 |AB → | ＝OA →􀅰AB→ 　　　　　 　　　　 　 |AB → |２ AB → ＝－１５ (a＋２b)＝－１５a－ ２ ５b． ] ６．B　[由(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC, 利用正弦定理可得:(a＋b)(a－b)＝(c－b)c, 即a２＝b２＋c２－bc, 所以由余弦定理可得:cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝ １ ２ , 而A∈(０,π),所以A＝π３． 因为a＝２,所以４＝b２＋c２－bc≥２bc－bc＝bc, 即bc≤４,当且仅当b＝c＝２时取等号, 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA≤ １ ２×４× ３ ２＝ ３ , 即△ABC面积的最大值为 ３．] ７．A　[双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的渐近线方程为 y＝±bax ,即bx±ay＝０, 设双曲线上的点P(x０,y０),所以 x２０ a２ －y ２ ０ b２ ＝１,即b２x２０－ a２y２０＝a２b２,则P(x０,y０)到两条渐近线bx±ay＝０的距 离分别为d１＝ |bx０＋ay０| a２＋b２ ,d１＝ |bx０－ay０| a２＋b２ , 所以d１d２＝ |b２x２０－a２y２０| a２＋b２ ＝ a ２b２ a２＋b２ , 又|OP|２＝x２０＋y２０＝a２＋ a２ b２y ２ ０＋y２０＝a２＋ a２ b２ ＋１( )y ２ ０, y０∈R,因为d１d２≤ １ ２|OP| ２ 恒成立,所以 a ２b２ a２＋b２ ≤ １ ２a ２,整理得b２≤a２,即b ２ a２ ≤１,所以离心率e＝ca ＝ c２ a２ ＝ １＋b ２ a２ ≤ ２,则C的离心率的最大值为 ２．] ８．A　[设点P(x０,y０),Q(x１,y１), 则根据kPA１ 􀅰kPA２ ＝ y０－３ x０ 􀅰y０＋３ x０ ＝－１２ ,整理可得x ２ ０ １８＋ y２０ ９＝１ ,因为 QA１⊥PA１,所以kQA１＝－ x０ y０－３ ,则 直线QA１ 的方程为y＝－ x０ y０－３ x＋３, 同理QA２ 的方程为y＝－ x０ y０＋３ x－３,联立两直线方程, 消去y得x１＝ y２０－９ x０ ,又因为x ２ ０ １８＋ y２０ ９＝１ ,即y２０－９＝ － x２０ ２ ,所以x１＝－ x０ ２ ,则 S△PA１A２ S△QA１A２ ＝ |x０| |x１| ＝２．] ９．BC　[由三个数１,b２,７成等差数列,得２b２＝８,解得b＝ ±２．若b＝－２,则圆锥曲线C:x ２ ４－ y２ b ＝１ 即为椭圆C: x２ ４＋ y２ ２＝１ ,可得离心率为 １－２４ ＝ ２ ２ ;若b＝２,则圆 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４Ｇ案答 参考答案 锥曲线C:x ２ ４－ y２ b ＝１ 即为双曲线C:x ２ ４ － y２ ２＝１ ,可得 离心率为 １＋２４＝ ６ ２． ] １０．ABC　[设z１＝a＋bi,z２＝c＋di(a,b,c,d∈R,b≠０,d ≠０)． z１＋z２＝a＋c＋(b＋d)i,z１z２＝ac－bd＋(ad＋bc)i． 若z１＝􀭵z２,则a＝c,b＋d＝０,所以z１＋z２＝２a∈R,z１z２ ＝a２＋b２∈R,所以 A正确; 若z１＋z２ 与z１z２ 均为实数,则b＋d＝０,且ad＋bc＝０, 又b≠０,d≠０,所以a＝c,所以B正确; 若z１,z２ 均为纯虚数,则a＝c＝０,所以 z１ z２ ＝cd ∈R ,所 以 C正确;取z１＝２＋２i,z２＝１＋i,则 z１ z２ 为实数,但z１, z２ 不是纯虚数,所以 D错误．] １１．BC　[ y＝f(x)图象 y＝g(x)图象 对于选项 A,０是函数f(x)的零点,零点不是一个点, 所以 A错误．对于选项B,当x＜１时,f′(x)＝(x＋１) ex,可得:当x＜－１时,f(x)单调递减;当－１＜x＜１ 时,f(x)单调递增,所以当０＜x＜１时,０＜f(x)＜e． 当x＞１时,f′(x)＝e x(x－３) x４ ,可得: 当１＜x＜３时,f(x)单调递减;当x＞３时,f(x)单调递增． 所以当１＜x＜３时,e ３ ２７＜f (x)＜e．综上可得,选项 B正 确．对于选项 C,f(x)min＝f(－１)＝－ １ e ,选项 C正确． 对于选项 D,关于x的方程[g(x)]２－２ag(x)＝０有两 个不相等的实数根⇔关于x 的方程g(x)[g(x)－２a] ＝０有两个不相等的实数根 ⇔关于x的方程g(x)－２a＝０有一个非零的实数根 ⇔函数y＝g(x)与y＝２a的图象有一个交点,且x≠０． g(x)＝ x２ex,x＜１, ex x２ ,x≥１,{ 当x＜１时,g′(x)＝ex(x２＋２x)． 当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下: x x＜－２ －２ －２＜x＜０ ０ ０＜x＜１ g′(x) ＋ ０ － ０ ＋ g(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值为g(－２)＝４e２ ,极小值为g(０)＝０, 当x≥１时,g′(x)＝e x(x－２) x３ ． 当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下: x １ １＜x＜２ ２ x＞２ g′(x) － ０ ＋ g(x) e ↘ 极小值 ↗ 极小值g(２)＝e ２ ４． 综上可得４ e２ ＜２a＜e ２ ４ 或２a＞e, a的取值范围是 ２e２ ,e ２ ８( ) ∪ e ２ ,＋∞( ) ,D不正确．] １２．解析:“斜椭圆”的中心为坐标原点,所以长半轴的长度 为曲线上的点到原点距离最大值, 短半轴的长度为曲线上的点到原点距离最小值, 由 基 本 不 等 式|xy|≤x ２＋y２ ２ ,即 －x ２＋y２ ２ ≤xy≤ x２＋y２ ２ ,所以－x ２＋y２ ２ ≤xy＝x ２＋y２－３≤x ２＋y２ ２ , 解得２≤x２＋y２≤６,当x＝y＝± ３时,x２＋y２＝６成 立,x＝－y＝±１时,x２＋y２＝２成立． 所以椭圆的长半轴长为 ６,短半轴长为 ２, 所以椭圆的离心率为 １－２６＝ ６ ３． 答案:６ ３ １３．解析:在 Rt△ABC１ 中,AB＝２ ２,cos‹AB →,AC１ →›＝ ３３, 所以AC１＝ ２ ２ ３ ３ ＝２ ６,cos‹AD →,AC１ →›＝ ３３, 所以该长方体的外接球的半径为 １ ２AC１＝ ６ ,所以该 长方体的外接球的表面积为４π(６)２＝２４π．由|a|＝ ２ ６及a􀅰e１＝a􀅰e２＝２ ２可得cos‹a,e１›＝cos‹a,e２› ＝２ ２ ２ ６ ＝ ３３ , 所以a与AC１ → 的方向相同或与A１C → 的方向相同,不妨取 a与AC１ → 的方向相同, 由平面向量基本定理可得me１＋ne２ 必与e１,e２ 共面, 在平面ABCD 上取一点E,可设me１＋ne２＝AE →,则 a－me１－ne２ ＝ AC１ → －AE → ＝ EC１ ,所以其最小 值为点C１ 到平面ABCD的最小值,即最小值为 CC１ → ＝ (２ ６)２－４２＝２ ２． 答案:２４π　２ ２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４４Ｇ案答 数学(新) １４．解析:如 图 所 示:O１M⊥CO２,则 O２M＝９,O１O２＝１８, O１M＝９ ３, ∴∠O１O２M＝ π ３⇒∠CO２D＝∠AO１B＝ ２π ３ , ∵S＝S梯形AO１O２C ＋S梯形BO１O２D －S扇形CO２D －S圆O１ ＋ S扇形AO１B,∴S＝２× １ ２× (６＋１５)×９ ３－１２× ２π ３×１５ ２ －π×３２＋１２× ２π ３×６ ２＝(１８９ ３－７２π)cm２． 答案:１８９ ３－７２π １５．解:选①:(１)设等差数列{an}的公差为d, ∵２a１＝２,a２＋a８＝１０,∴２a１＋８d＝１０,∴a１＝１,d＝１, ∴an＝１＋(n－１)×１＝n, 由b１＝２,λSn＝bn－１,当n＝１时,有λS１＝λb１＝b１－１, 即２λ＝２－１, 解得λ＝ １２ ,当n≥２时,bn＝Sn－Sn－１＝２(bn－１)－ ２(bn－１－１),即bn＝２bn－１, 所以{bn}是以２为首项,２为公比的等比数列,∴bn＝ ２×２n－１＝２n． (２)由(１)知:an＋bn＝n＋２n,∴Tn＝(１＋２＋３＋􀆺＋n) ＋(２＋２２＋２３＋􀆺＋２n)＝n (n＋１) ２ ＋ ２(１－２n) １－２ ＝２ n＋１ －２＋n (n＋１) ２ ． 选②:(１)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的 公比为q,则q＞０, ∵２a１＝２,a２＋a８＝１０＝２a１＋８d,解得a１＝１,d＝１, ∴an＝n, 依题意得a４＝(S３－S２)－(S２－S１)＝b３－b２＝b１(q２－ q)＝４,∵b１＝２,∴２(q２－q)＝４,解得q＝２．∴bn＝２n． (２)由(１)知:an＋bn＝n＋２n,∴Tn＝(１＋２＋３＋􀆺＋n) ＋(２＋２２＋２３＋􀆺＋２n)＝n (n＋１) ２ ＋ ２(１－２n) １－２ ＝２ n＋１ －２＋n (n＋１) ２ ． 选③: (１)设等差数列{an}的公差为d,∵２a１＝２,a２＋a８＝１０, ∴２a１＋８d＝１０,∴a１＝１,d＝１,an＝n． ∵bn＝２λan(λ∈R),２a１＝b１＝２,令n＝１,得b１＝２λa１,即 ２＝２λ,∴λ＝１,∴bn＝２an ,∴b＝２n． (２)由(１)知:an＋bn＝n＋２n,∴Tn＝(１＋２＋３＋􀆺＋n) ＋(２＋２２＋２３＋􀆺＋２n)＝n (n＋１) ２ ＋ ２(１－２n) １－２ ＝２ n＋１ －２＋n (n＋１) ２ ． １６．解:(１)因为∠ABC＝ ２３π ,AB＝１,AC＝ ７,由余弦定 理得AC２＝AB２＋BC２－２×AB×BC×cos∠ABC, 所以７＝１＋BC２＋BC,即BC２＋BC－６＝０,解得BC＝ ２,所以S△ABC＝ １ ２×AB×BC×sin∠ABC＝ １ ２×１×２ × ３２＝ ３ ２． (２)设∠CAD＝θ,在△ACD 中,由正弦定理得 AC sin∠ADC ＝ CDsin∠CAD ,所以 AC sinπ３ ＝ ２ ３ sinθ① , 在△ABC中,∠BAC＝π２－θ ,∠BCA＝θ－π６ , 则 AC sin∠ABC＝ AB sin∠BCA ,即 AC sin２π３ ＝ １ sinθ－π６( ) ② 由①②得:２ ３sinθ＝ １ sinθ－π６( ) ,即 ２ ３sin θ－π６( ) ＝ sinθ,∴２ ３ ３ ２sinθ－ １ ２cosθ æ è ç ö ø ÷＝sinθ, 整理得２sinθ＝ ３cosθ,所以tan∠CAD＝ ３２． １７．解:(１)证明:∵四边形ABCD 为平行四边形, AC∩BD＝O, ∴O 为BD 中点, ∵M 为PD 中点, ∴OM∥PB,OM⊄平面PBC,PB⊂平面PBC, ∴OM∥平面PBC． (２)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,AC∩BD＝O, ∴O 为AC,BD 中点, ∵PB＝PD,PA＝PC, ∴PO⊥AC,PO⊥BD,AC∩BD＝O, ∴PO⊥平面ABCD, ∴AD⊥PO, 又AD⊥BD,BD∩PO＝O, ∴AD⊥平面PBD,AD⊂平面PAD, ∴平面PAD⊥平面PBD． (３)以DA,DB 所在直线分别为x 轴、y轴,过D 且与平 面ABCD 垂直的直线为z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系, ∵AD＝BD＝２,AD⊥BD, ∴BC⊥BD,BC＝２,AB＝CD＝２ ２, ∵PB⊥PD,PB＝PD, ∴PB＝PD＝ ２,PO＝１, ∵AD＝２,AD⊥BD,DO＝１, ∴AO＝ ５＝OC, ∴A(２,０,０),P(０,１,１),B(０,２,０),C(－２,２,０), PA → ＝(２,－１,－１),PB → ＝(０,１,－１),PC → ＝(－２,１,－１), 设平面 PAB 和平面PBC 的法向量分别为n１＝(x１, y１,－１),n２＝(x２,y２,－１), 则n１,n２ 夹角的补角θ就是二面角A－PB－C的平面角, 由 n１􀅰PA → ＝２x１－y１＋１＝０, n１􀅰PB → ＝y１＋１＝０,{ 和 n２􀅰PB → ＝y２＋１＝０, n２􀅰PC → ＝－２x２＋y２＋１＝０,{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４Ｇ案答 参考答案 解得 x１＝－１, y１＝－１,{ 和 x２＝０, y２＝－１．{ ∴n１＝(－１,－１,－１),n２＝(０,－１,－１), ∴cosθ＝－|n１ 􀅰n２| |n１||n２| ＝－２ ６ ＝－ ６３ , ∴二面角AＧPBＧC 的余弦值为－ ６３． １８．解:(１)函数f(x)的定义域为(０,＋∞), f′(x)＝１２a－ １－lnx x２ , 若函数f(x)为单调递减函数, 则f′(x)＝１２a－ １－lnx x２ ≤０, ∴a≤２－２lnx x２ 对x＞０恒成立, 设g(x)＝２－２lnxx２ ,g′(x)＝４lnx－６x３ ． 易得函数g(x)在(０,e ３ ２ )上单调递减,在(e ３ ２ ,＋∞)上 单调递增,∴函数g(x)的最小值为g(e ３ ２ )＝－１ e３ , ∴a≤－１ e３ ,即a的取值范围是 －∞,－１e３( ]． (２)由f(x)＝０可得０＝１２ax ２－(a－１)x－lnx, 设h(x)＝１２ax ２－(a－１)x－lnx, 则函数f(x)有两个不同的零点等价于函数h(x)有两 个不同的零点． ∵h′(x)＝ax－(a－１)－１x＝ (ax＋１)(x－１) x ． ∴①当a≥０时, 函数h(x)在(０,１)上单调递减,在(１,＋∞)上单调递 增．若函数h(x)有两个不同的零点, 则h(１)＝１－１２a＜０ ,即a＞２． 当a＞２时,当x＞１时,h(２)＝２－ln２＞０．当０＜x＜１ 时,h(x)＝１２ax ２－(a－１)x－lnx, ∵－１＜x２－２x＜０,h(x)＞－１２a＋x－lnx , ∴h e－ １ ２a( ) ＞－１２a＋e －１２a－lne－ １ ２a＞０． ∴函数h(x)在(０,１),(１,＋∞)上各有一个零点． 故a＞２符合题意． ②当a＝－１时, ∵函数h(x)在(０,＋∞)上单调递减, ∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意． ③当－１＜a＜０时, ∵函数h(x)在(０,１)上单调递减,在 １,－１a( ) 上单调 递增,在 －１a ,＋∞( ) 上单调递减, ∴函数h(x)的极小值为h(１)＝１－１２a＞０． ∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意． ④当a＜－１时, ∵函数h(x)在 ０,－１a( ) 上单调递减,在 － １ a ,１( ) 上 单调递增,在(１,＋∞)上单调递减, ∴函数h(x)的极小值为h －１a( )＝１－ １ ２a＋ln (－a)＞０． ∴函数h(x)至多有一个零点,不符合题意． 综上,a的取值范围是(２,＋∞)． １９．解:(１)由题意可知,点P 的横坐标为c, 且 a２ c＝９ , a２ c－c＝８ , ì î í ïï ï 得a２＝９,c＝１,即b２＝a２－c２＝８, 所以椭圆方程为x ２ ９＋ y２ ８＝１ ,当x＝１时,y＝±８３ , 因为点P 在第一象限,所以点P 的坐标为 １,８３( ) ; (２)设 M(x１,y１),N(x２,y２), 由(１)可知,P １,８３( ) ,a＝３,e＝ c a ＝ １ ３ , 所以|MF|＝３－１３x１ ,|NF|＝３－１３x２ ,|FP|＝３－１３ ×１＝８３ , △MNP 的重心为F,则x１＋x２＋１３ ＝１ ,即x１＋x２＝２, 则|MF|＋|NF|＝２|FP|, 所以|FM|,|FP|,|FN|能构成等差数列, 如图,延 长 PF,交 MN 于 点 D,|PF|＝２|FD|,即 D １,－４３( ) , 所以x１＋x２＝２,y１＋y２＝－ ８ ３ , x２１ ９＋ y２１ ８＝１ , x２２ ９＋ y２２ ８＝１ , ì î í ïï ï 两 式 相 减 得 (x１＋x２)(x１－x２) ９ ＋ (y１＋y２)(y１－y２) ８ ＝０ , 可得y１－y２ x１－x２ ＝２３ ,即kMN ＝ ２ ３ , 所以直线 MN 的方程为y＋４３＝ ２ ３ (x－１),即y＝２３x －２, 联立 x２ ９＋ y２ ８＝１ , y＝２３x－２ , ì î í ïï ï 得x２－２x－３＝０, 解得:x＝－１或x＝３, 即|MF|＝a－ex＝３－１３× (－１)＝１０３ ,|NF|＝３－ １３ ×３＝２,或|MF|＝２,|NF|＝１０３ , 所以|FM|,|FP|,|FN|分别是１０３ ,８ ３ ,２或２,８３ ,１０ ３ , 公差为－２３ 或２ ３． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４Ｇ案答 数学(新)