创新示范卷12 卷一～四滚动检测（含答题卡）-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮创新示范卷（新题型 人教B版 新教材）

创新示范卷(十二) 　　　　　　卷一~四滚动检测 　　　　　　　　　本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题(本大题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的．) １．(２０２４􀅰安徽省皖江联盟联考)已知全集为R,集合A＝{－２,－１,０,１,２},B＝ x x－１x＋２＜０{ },则A ∩(∁UB)的元素个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．向量a＝(１,２),b＝(－１,０),则b在a上的投影向量是 (　　) A．－ ５５ B． ５ ５ C．－ １ ５ ,－２５ æ è ç ö ø ÷ D．１５ ,２ ５ æ è ç ö ø ÷ ３．(２０２４􀅰山东潍坊一模)已知sinαsin π３－α æ è ç ö ø ÷＝３cosαsinα＋π６ æ è ç ö ø ÷,则sin２α＋π６ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－１ B．－ ３２ C． １ ２ D． ３ ２ ４．(２０２４􀅰西湖区模拟)已知函数f(x)＝ax２＋bx＋c,且存在相异实数m,n满足f(m)＝f(n)＝０．若 a ３＋ b ２＋c＝０ ,则|m－n|的最小值是 (　　) A．２ ３ B．３３ C． ９ ２ ３ D．３ ５．(２０２４􀅰江西模拟)如图,在矩形ABCD 中,AB＝２,AD＝１,E为边DC 的中点,F为BE 的中点,则 AF → 􀅰AE → 等于 (　　) A．３ B．２ C．３２ D． １ ２ ６．(２０２４􀅰河南省鹤壁市模拟)函数f(x)＝ax－２与g(x)＝ex 的图象上存在关于直线y＝x对称的 点,则a的取值范围是 (　　) A．－∞,e４ æ è ç ] B．－∞,e２ æ è ç ] C．(－∞,e] D．(－∞,e２] ７．(２０２４􀅰宣城期末)已知函数f(x)在定义域R上单调,且f(f(x)＋２x)＝１,则f(－２)的值为 (　　) A．３ B．１ C．０ D．－１ ８．(２０２４􀅰浙江模拟预测)已知lnx＋ln(２－２t)＋２x２≤２tx２＋２x＋xe２x恒成立,则t的取值范围是 (　　) A．１＞t≥１－e B．１＞t≥２３ C．１＞t≥２－e D．１＞t 二、选择题(本大题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求．全部选对得６分,有选错的得０分,部分选对的得部分分．) ９．已知向量a＝(２,１),b＝(cosθ,sinθ)(０＜θ＜π),则下列命题正确的是 (　　 ) A．a􀅰b的最大值为 ３ B．存在θ,使得|a＋b|＝|a|＋|b| C．若a⊥b,则tanθ＝ ２ D．若b在a上的投影向量为－ ３６a ,则向量a与b的夹角为２π３ １Ｇ２１ １０．设复数z＝－１２－ ３ ２i 的共轭复数为􀭵z,则下列结论正确的有 (　　) A．􀭵z＝cos２π３＋isin ２π ３　　　　B． 􀭵z z２ ＝１２　　　　C． 􀭵z z ＝１　　　　D．z ２＋􀭵z２＝２ １１．(２０２４􀅰湖南长沙长郡中学校联考)已知函数f(x)的定义域为R,函数f(x)的图象关于点(１,０) 对称,且满足f(x＋３)＝f(１－x),则下列结论正确的是 (　　) A．函数f(x＋１)是奇函数 B．函数f(x)的图象关于y轴对称 C．函数f(x)是最小正周期为２的周期函数 D．若函数g(x)满足g(x)＋f(x＋３)＝２,则∑ ２０２４ k＝１ g(k)＝４０４８ 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．(２０２４􀅰山东调研)已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过 点P(－１,２),则cos２α＝　　　． １３．(２０２４􀅰赣州模拟)已知函数f(x)定义域为R,满足f(x)＝f(２－x),且对任意１≤x１＜x２,均有 x１－x２ f(x１)－f(x２) ＞０,则不等式f(２x－１)－f(３－x)≥０的解集为　　　． １４．(２０２４􀅰山东淄博模拟预测)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a＝２,sinA＝ ２sinBsinC,点E在BC边上,且AE⊥BC,则AE＝　　　 　;若b２＋c２＝ ６bc,则cosA＝　　　 　． 四、解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分)(２０２４􀅰台州市质量评估)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c＝３, 且sinC－π６ æ è ç ö ø ÷􀅰cosC＝１４． (１)求角C的大小; (２)若向量m＝(１,sinA)与n＝(２,sinB)共线,求△ABC的周长． ２Ｇ２１ １６．(１５分)在△ABC中,从①,②这两个条件中选择一个作为已知． (１)求∠C; (２)若a＋２b＝１６,△ABC的面积为８ ３,求△ABC的周长． 条件①:２ccosC＝acosB＋bcosA; 条件②:２sinAsinBsinC＝ ３(sin２A＋sin２B－sin２C)． 注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分． １７．(１５分)(２０２４􀅰六盘水模拟预测)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是a,b,c,且bcosA＋ ３bsinA＝a＋c． (１)求B; (２)若△ABC的中线BD 长为２ ３,求a＋c的最大值． ３Ｇ２１ １８．(１７分)(２０２４􀅰汉中模拟)已知f(x)＝１＋x１－xe x,g(x)＝a(x＋１)． (１)求曲线y＝f(x)在点(０,f(０))处的切线方程; (２)当a＞０时,若关于x的方程f(x)＋g(x)＝０存在两个正实数根x１,x２(x１＜x２),证明:a＞e２ 且x１x２＜x１＋x２． １９．(１７分)对于给定的正整数n,记集合Rn＝{α|α＝(x１,x２,x３,􀆺,xn),xj∈R,j＝１,２,３,􀆺,n},其 中元素α称为一个n维向量．特别地,０＝(０,０,􀆺,０)称为零向量． 设k∈R,α＝(a１,a２,􀆺,an)∈Rn,β＝(b１,b２,􀆺,bn)∈Rn,定义加法和数乘:α＋β＝(a１＋b１,a２＋ b２,􀆺,an＋bn),kα＝(ka１,ka２,􀆺,kan)． 对一组向量α１,α２,􀆺,αs(s∈N＋,s≥２),若存在一组不全为零的实数k１,k２,􀆺,ks,使得k１α１＋ k２α２＋􀆺＋ksαs＝０,则称这组向量线性相关．否则,称为线性无关． (Ⅰ)对n＝３,判断下列各组向量是线性相关还是线性无关,并说明理由． ①α＝(１,１,１),β＝(２,２,２); ②α＝(１,１,１),β＝(２,２,２),γ＝(５,１,４); ③α＝(１,１,０),β＝(１,０,１),γ＝(０,１,１),δ＝(１,１,１)． (Ⅱ)已知向量α,β,γ线性无关,判断向量α＋β,β＋γ,α＋γ是线性相关还是线性无关,并说明理由． (Ⅲ)已知m(m≥２)个向量α１,α２,􀆺,αm 线性相关,但其中任意m－１个都线性无关,证明下列结论: (ⅰ)如果存在等式k１α１＋k２α２＋􀆺＋kmαm＝０(ki∈R,i＝１,２,３,􀆺,m),则这些系数k１,k２,􀆺, km 或者全为零,或者全不为零; (ⅱ)如果两个等式k１α１＋k２α２＋􀆺＋kmαm＝０,l１α１＋l２α２＋􀆺＋lmαm＝０(ki∈R,li∈R,i＝１, ２,３,􀆺,m)同时成立,其中l１≠０,则 k１ l１ ＝ k２ l２ ＝􀆺＝ km lm ． ４Ｇ２１ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 创新示范卷(十二) 数学答题卡 选择题 (共５８分,１~８小题,每小题５分,９~１１小题,每小题６分) 正确填涂　　　　　 　１ A B C D 　４ A B C D 　７ A B C D 　１０ A B C D 　 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 　 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 　　　　 　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 非选择题　　　　　　　　　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)二十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)二十(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)二十(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)二十(卡题答学数 创新示范卷(十二) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C C A B B C A A ABD AC ABD １．C　 ２．C　[因为向量a＝(１,２),b＝(－１,０), 所以 b 在 a 上 的 投 影 向 量 是a 􀅰b |a|２ 􀅰a＝ － １５a ＝ －１５ ,－２５( )．] ３．A　[由sinαsin π３－α( )＝３cosαsinα＋ π ６( ) , 得sinα ３ ２cosα－ １ ２sinα æ è ç ö ø ÷＝３cosα ３ ２sinα＋ １ ２cosα æ è ç ö ø ÷, 即sin２α＋２ ３sinαcosα＋３cos２α＝０ 则(sinα＋ ３cosα)２＝０,得sinα＝－ ３cosα,则tanα＝ － ３,所以sin ２α＋π６( )＝ ３ ２sin２α＋ １ ２cos２α＝ ３sinαcosα＋cos２α－１２＝ ３sinαcosα cos２α＋sin２α ＋ cos ２α cos２α＋sin２α －１２ ＝ ３tanα １＋tan２α ＋ １ １＋tan２α －１２＝ －３ １＋３＋ １ １＋３－ １ ２＝－１． ] ４．B　 ５．B　[以A为坐标原点,可建立如图所示平面直角坐标系, 则A(０,０),E(１,１),F ３２ ,１ ２( ) ,∴AF → ＝ ３２ ,１ ２( ) ,AE → ＝(１,１),∴AF → 􀅰AE → ＝３２＋ １ ２＝２． ] ６．C　[由题可知,曲线f(x)＝ax－２与y＝lnx 有公共 点,即方程ax－２＝lnx有解,即a＝２＋lnxx 有解, 令h(x)＝２＋lnxx ,则h′(x)＝－１－lnx x２ , 则当０＜x＜１e 时,h′(x)＞０;当x＞１e 时,h′(x)＜０, 故x＝１e 时,h(x)取得极大值h １e( ) ＝e,也即为最大 值,当x趋近于０时,h(x)趋近于－∞,所以a≤e满足条 件．] ７．A　[因为函数f(x)在定义域 R 上单调,且f(f(x)＋ ２x)＝１, 所以f(x)＋２x为常数,不妨设f(x)＋２x＝t,则f(x)＝ t－２x． 由f(f(x)＋２x)＝１得f(t)＝t－２t＝１,解得t＝－１, 所以f(x)＝－２x－１,所 以f(－２)＝－２×(－２)－１ ＝３．] ８．A　[首先显然有２－２t＞０,所以t＜１,其次由题意可将 不等式变形 为lnx＋lnx＋ln(２－２t)＋２x２－２tx２ ≤ elnx＋２x＋lnx＋２x,即ln[x２ (２－２t)]＋x２ (２－２t)≤ elnx＋２x＋(lnx＋２x)恒 成 立,即eln[x ２(２－２t)]＋ln[x２(２－ ２t)]≤e(lnx＋２x)＋(lnx＋２x)恒成立,不妨设f(a)＝ea＋ a,则f′(a)＝ea＋１＞０,所以f(a)单调递增,由以上分析 可知ln[x２(２－２t)]≤lnx＋２x,所以ln(２－２t)≤２x－ln x恒成立,所以只需ln(２－２t)≤(２t－lnx)min即可,不妨 设g(x)＝２x－lnx,(x＞０),求导得g′(x)＝２－ １x ＝ ２x－１ x ,所以当０＜x＜１２ 时,有g′(x)＜０,此时g(x)单 调递减,当x＞１２ 时,有g′(x)＞０,此时g(x)单调递增, 所以[g(x)]min＝g １ ２( )＝１＋ln２＝ln２e,由以上分析可 知ln(２－２t)≤(２x－lnx)min＝ln２e, 又对数函数y＝lnx在x＞０时单调递增, 所以２－２t≤２e,解得t≥１－e． 综上所述:t的取值范围是１＞t≥１－e．] ９．ABD　[对于 A,a􀅰b＝ ２cosθ＋sinθ＝ ３sin(θ＋φ),其 中tanφ＝ ２,φ∈ ０, π ２( ) ,所以当θ＋φ＝ π ２ 时,a􀅰b最 大值为 ３,A正确． 对于B,因为０＜θ＜π,所以当a＝λb,且λ＞０时,|a＋b| ＝|a|＋|b|,即θ使得cosθ＝ ６３ ,sinθ＝ ３３ 时,符合题 意,所以 B正确．对于 C,若a⊥b,则a􀅰b＝ ２cosθ＋ sinθ＝０,此时tanθ＝－ ２,C错误． 对于 D,b 在a 上 的 投 影 向 量 为|b|cos‹a,b›􀅰 a|a|＝ cos‹a,b› ３ a＝－ ３６a ,所以cos‹a,b›＝－ １２ ,所以a和b 的夹角为２π ３ ,D正确．] １０．AC　[对于 A,􀭵z＝－ １２＋ ３ ２i＝cos ２π ３ ＋isin ２π ３ ,故 A 正确; 对于 B, 􀭵z z２ ＝ －１２＋ ３ ２i －１２－ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ －１２＋ ３ ２i －１２＋ ３ ２i ＝１,故 B 错误; 对于 C, 􀭵z z ＝ －１２＋ ３ ２i －１２－ ３ ２i ＝ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ －１２－ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ＝ － １２ － ３ ２ i ,所 以 􀭵z z ＝１ ,故 C正确; 对 于 D,z２ ＝ －１２－ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ － １２ ＋ ３ ２i ,􀭵z ２＝ －１２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－ １２ － ３ ２i ,所以z２＋􀭵z２＝－１,故 D 错误．] １１．ABD　[因为函数f(x)的图象关于点(１,０)对称,所以 f(x＋１)＝－f(１－x),所以函数f(x＋１)是奇函数,故 A正确;因为f(x＋１)＝－f(１－x),所以f(x＋２)＝ －f(－x),又f(x＋３)＝f(１－x), 所以f(x＋３)＝－f(x＋１),所以f(x＋２)＝－f(x), 所以f(－x)＝f(x),所以f(x)为偶函数．故B正确; 因为f(x＋４)＝－f(x＋２)＝f(x),所以f(x)是最小 正周期为４的周期函数,故 C错误; 因为g(x)＋f(x＋３)＝２,所以g(x)＝２－f(x＋３),那 么,g(x＋４)＝２－f(x＋７)＝２－f(x＋３)＝g(x), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３Ｇ案答 数学(新) 所以g(x)也是周期为４的函数, g(１)＋g(２)＋g(３)＋g(４)＝２－f(４)＋２－f(５)＋２－ f(６)＋２－f(７)＝８－[f(４)＋f(５)＋f(６)＋f(７)], 因为f(x＋２)＝－f(x),所以f(４)＋f(６)＝０,f(５)＋ f(７)＝０, 所以g(１)＋g(２)＋g(３)＋g(４)＝８, 所以∑ ２０２４ i＝１ g(k)＝５０６[g(１)＋g(２)＋g(３)＋g(４)]＝４０４８, 故 D正确．] １２．解析:由三角函数的定义,r＝ ５,可得:sinα＝yr ＝ ２ ５ , 可得:cos２α＝１－２sin２α＝１－２× ２ ５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝－３５． 答案:－３５ １３．解析:因为函数f(x)满足f(x)＝f(２－x), 所以函数f(x)的图象关于直线x＝１对称, 因为对任意１≤x１＜x２,均有 x１－x２ f(x１)－f(x２) ＞０成立, 所以函数f(x)在[１,＋∞)上单调递增． 由对称性可知f(x)在(－∞,１]上单调递减． 因为f(２x－１)－f(３－x)≥０,即f(２x－１)≥f(３－x), 所以|２x－１－１|≥|３－x－１|,即|２x－２|≥|２－x|, 解得x≤０或x≥４３． 答案:(－∞,０]∪ ４３ ,＋∞[ ) １４．解析:如图所示,记AE 边为h, 由AE⊥BC,在△AEB 中,sinB＝AEAB＝ h c ;在△AEC 中,sinC＝AEAC＝ h b ,sinA＝２sinBsinC＝２h ２ bc , 又S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ah ,得sinA＝ahbc , 则有２h ２ bc＝ ah bc ,即２h２＝ah,解得h＝１,即AE＝１; S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ah＝１ ,bc＝ ２sinA , b２＋c２＝ ６bc,由余弦定理,a２＝b２＋c２－２bccosA＝ ６bc－２bccosA, 即４＝bc(６－２cosA)＝ ２sinA (６－２cosA), 可得２sinA＋２cosA＝ ６, 即sin A＋π４( )＝ ３ ２ , 由A∈(０,π),有A＋π４＝ ２π ３ , cosA＝cos ２π３－ π ４( ) ＝cos ２π ３cos π ４ ＋sin ２π ３sin π ４ ＝ ６－ ２４ ． 答案:１　 ６－ ２４ １５．解:(１)因为sin C－π６( ) 􀅰cosC＝ １ ４ , 所以 ３ ２sinC－ １ ２cosC æ è ç ö ø ÷􀅰cosC＝１４ , 所以 ３ ４sin２C－ １ ４－ １ ４cos２C＝ １ ４ , 所以sin ２C－π６( )＝１ 所以２C－π６＝ π ２＋２kπ ,k∈Z,所以C＝π３＋kπ ,k∈Z, 因为C是△ABC的内角,所以C＝π３ (２)因为向量m＝(１,sinA)与n＝(２,sinB)共线 所以sinB－２sinA＝０,即b－２a＝０ 由余弦定理可得c２＝a２＋b２－２abcosC,即９＝a２＋４a２ －４a２􀅰１２ ,解得a＝ ３,b＝２ ３, 所以△ABC的周长为３＋３ ３． １６．解:(１)选①:２ccosC＝acosB＋bcosA⇒２sinCcosC＝ sinAcosB＋sinBcosA⇒２sinCcosC＝sin(A＋B)⇒ ２sinCcosC＝sin(π－C)＝sinC,因为C∈(０,π),所以 sinC≠０,因此有２cosC＝１⇒cosC＝１２ ,因为C∈(０, π),所以∠C＝π３． 选②:由２sinAsinBsinC＝ ３(sin２A＋sin２B－sin２C) ⇒２absinC＝ ３(a２＋b２－c２)⇒sinC＝ ３ (a２＋b２－c２) ２ab ⇒sinC＝ ３cosC⇒tanC＝ ３,因为C∈(０,π),所以 ∠C＝π３． (２)因为△ABC的面积为８ ３,所以有 １２absinC＝８ ３ ⇒１２ab 􀅰 ３ ２＝８ ３⇒ab＝３２ ,而a＋２b＝１６,解得:b＝ ４,a＝８,由 余 弦 定 理 可 知:c＝ a２＋b２－２abcos π３ ＝ ６４＋１６－２×８×４×１２＝４ ３ ,所以△ABC 的周长为 ８＋４＋４ ３＝１２＋４ ３． １７．解:(１)因为bcosA＋ ３bsinA＝a＋c, 所以sinBcosA＋ ３sinBsinA＝sinA＋sinC, 又C＝π－(A＋B), 所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋ cosAsinB, 所以sinBcosA＋ ３sinBsinA＝sinA＋sinAcosB＋ cosAsinB, 整理得sinA(３sinB－cosB)＝sinA, 因为A∈(０,π),sinA＞０,所以 ３sinB－cosB＝１,即 ２sin B－π６( )＝１, 因为A＜B＜π,所以－π６＜B－ π ６＜ ５π ６ , 所以B－π６＝ π ６ ,得B＝π３． (２)因为D 为AC 中点, 所以BD → ＝１２ (BC → ＋BA →), 因为|BC → |＝a,|BA → |＝c, |BD → |＝２ ３,B＝π３ 所以BD→ ２ ＝１２＝ １４ (BC→ ２ ＋BA→ ２ ＋２BC→ 􀅰BA→)＝ １ ４ a ２＋c２＋２accosπ３( ) 整理得a２＋c２＋ac＝４８, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５３Ｇ案答 参考答案 所以(a＋c)２＝４８＋ac≤４８＋ a＋c２( ) ２ ,得(a＋c)２≤６４, 即a＋c≤８, 当且仅当a＝c＝４时,等号成立, 所以a＋c的最大值为８． １８．解:(１)∵f′(x)＝ ３－x ２ (１－x)２ ex,∴f(０)＝１,f′(０)＝３, ∴曲线y＝f(x)在点(０,f(０))处的切线方程为３x－y ＋１＝０． (２)证明:由f(x)＋g(x)＝０存在两个正实数根x１,x２ (x１＜x２),整理得方程ex＝a(x－１)(x≠１)存在两个正 实数根x１,x２(x１＜x２)． 由a＞０,知x２＞x１＞１, 令h(x)＝ex－ax＋a,则h′(x)＝ex－a, 当x＞lna 时,h′(x)＞０,h(x)在(lna,＋∞)上单调 递增; 当x＜lna时,h′(x)＜０,h(x)在(０,lna)上单调递减． 所以h(x)min＝h(lna)＝２a－alna． 因为h(x)＝ex－ax＋a有两个零点,即２a－alna＜０, 得a＞e２． 因为实数x１,x２ 是ex＝a(x－１)的两个根, 从而e x１ ex２ ＝ex１－x２＝ x１－１ x２－１ ． 令α＝x１ －１,β＝x２ －１,则 e α－β ＝ α β ,变 形 整 理 得 lnα－lnβ α－β ＝１． 要证x１x２＜x１＋x２,则只需证αβ＜１,即只要证β＜ １ α (０＜α＜１＜β), 结合对数函数y＝lnx的图象可知, 只需要证(α,lnα), １α ,ln １α( ) 两 点 连 线 的 斜 率 要 比 (α,lnα),(β,lnβ)两点连线的斜率小即可． 因为lnα－lnβ α－β ＝１,所以只要证 lnα－ln １α α－１α ＜１, 整理得１ α－α＋２lnα＞０ (０＜α＜１)． 令g(x)＝１x－x＋２lnx (０＜x＜１),则g′(x)＝－１x２ － １＋２x＝－ (x－１)２ x２ ＜０, 所以g(x)在(０,１)上单调递减,即g(x)＞g(１)＝０, 所以１ α－α＋２lnα＞０ (０＜α＜１)成立,故x１x２＜x１＋x２ 成立． １９．解:(Ⅰ)对于①,设k１α＋k２β＝０,则可得k１＋２k２＝０, 所以α,β线性相关; 对于②,设k１α＋k２β＋k３γ＝０,则可得{k１＋２k２＋５k３＝ ０,k１＋２k２＋k３＝０,k１＋２k２＋４k３＝０,所以α,β,γ线性 相关; 对于③,设k１α＋k２β＋k３γ＋k４δ＝０,则可得 {k１＋k２＋k４＝０,k１＋k３＋k４＝０,k２＋k３＋k４＝０,解得k１＝ k２＝k３＝－ １ ２k４ ,所以α,β,γ,δ线性相关; (Ⅱ)设k１(α＋β)＋k２(β＋γ)＋k３(α＋γ)＝０, 则(k１＋k３)α＋(k１＋k２)β＋(k２＋k３)γ＝０, 因为向量α,β,γ线性无关,所以k１＋k３＝０,k１＋k２＝０, k２＋k３＝０,解得k１＝k２＝k３＝０, 所以向量α＋β,β＋γ,α＋γ线性无关． (Ⅲ)证明:(ⅰ)k１α１＋k２α２＋􀆺＋kmαm＝０,如果某个ki ＝０,i＝１,２,􀆺,m, 则k１α１＋k２α２＋􀆺＋ki－１αi－１ ＋ki＋１αi＋１ ＋􀆺＋kmαm ＝０, 因为任意 m－１ 个 都 线 性 无 关,所 以k１,k２,􀆺,ki－１, ki＋１,􀆺,km 都等于０, 所以 这 些 系 数k１,k２,􀆺,km 或 者 全 为 零,或 者 全 不 为零, (ⅱ)因为ll≠０,所以l１,l２,􀆺,lm,全不为零, 所以由l１α１＋l２α２＋􀆺＋lmαm ＝０可得α１＝－ l２ l１ α２－ 􀆺－ lm l１ αm, 代 入 k１α１ ＋ k２α２ ＋ 􀆺 ＋ kmαm ＝ ０ 可 得 k１ － l２ l１ α２－􀆺－ lm l１ αm( )＋k２α２＋􀆺＋kmαm＝０, 所以 － l２ l１ k１＋k２( )α２＋􀆺＋ －lml１k１＋km( )αm＝０, 所以－ l２ l１ k１＋k２＝０,􀆺,－ lm l１ k１＋km＝０, 所以 k１ l１ ＝ k２ l２ ＝􀆺＝ km lm ． 创新示范卷(十三) 选择题答案速查 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ 答案 C A A C C B A C ABDABC CD １．C　[z２＝ ３ ２＋ １ ２i æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３４－ １ ４＋ ３ ２i＝ １ ２＋ ３ ２i ,则z３ ＝z２z＝ １ ２＋ ３ ２i æ è ç ö ø ÷ ３ ２＋ １ ２i æ è ç ö ø ÷＝ ３４－ ３ ４＋ ３ ４＋ １ ４( )i ＝i] ２．A　[因为a⊥b,所以a􀅰b＝０,又因为|a＋b|＝２ ３３ |a| , 所以|a|２＋２a􀅰b＋|b|２＝４３|a| ２,整理得|a|２＝３|b|２, 所 以|a|＝ ３|b|所 以|a＋b|＝ |a＋b|２ ＝ |a|２＋２a􀅰b＋|b|２＝２|b|,所以a＋b与a 的夹角表示 为 ‹a＋b,a›,则 cos‹a＋b,a›＝ (a＋b)􀅰a |a＋b|􀅰|a|＝ |a|２＋a􀅰b |a＋b|􀅰|a|＝ |a| |a＋b|＝ ３|b| ２|b|＝ ３ ２ ,所以a＋b与a 的 夹角为 π ６． ] ３．A　[由题可知,图像过点(０,１),取x＝０, 对于 A:f(０)＝|sin０＋|cos０|－２sin０＝０＋１－０＝１; 对于B:f(０)＝|sin０|－|cos０|＋２sin０＝０－１＋０＝－１;对 于 C:f(０)＝|sin０|－|cos０|＋２cos０＝０－１＋２＝１;对 于 D:f(０)＝|sin０|＋|cos０|＋２cos０＝３;故可排除B、 D,又由图像可知,当x＝π２ 时,f(x)＞０,取x＝π２ ,对于 A:f π２( ) ＝ sin π ２ ＋ cos π ２ －２sin ２× π ２( ) ＝１ ＋ ０ － ０ ＝ １ ＞ ０; 对 于 C:f π２( ) ＝ sinπ２ － cos π ２ ＋２cos２× π ２＝１－０－２＝－１＜０ ; 可排除 C．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６３Ｇ案答 数学(新)