创新示范卷4 平面向量、复数（含答题卡）-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮创新示范卷（新题型 人教B版 新教材）

创新示范卷(四) 　　　　　平面向量、复数 　　　　　　　本试卷满分１５０分,考试时间１２０分钟． 一、选择题(本大题共８小题,每小题５分,共４０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的．) １．(２０２４􀅰云南红河统考模拟)已知复数z＝１２＋ ３ ２i ,􀭵z是z的共轭复数,则z２－􀭵z＝ (　　) A．－１＋ ３i　　　　　　　B．１－ ３i　　　　　　C．３i　　　　　　　D．－ ３i ２．(２０２４􀅰河南高三月考)在△ABC中,若AB＝１,AC＝５,cosA＝３５ ,则AB → 􀅰(AB → ＋AC → )＝ (　　) A．３ B．８ C．４ D．２８ ３．(２０２４􀅰安徽高三模拟)在△ABC中,点D 满足BC → ＝３BD → ,点E为线段AD 的中点,则向量CE → ＝ (　　) A．１３AB → ＋１６AC → B．１６AB → ＋１３AC → C．１６AB → －２３AC → D．１３AB → －５６AC → ４．(２０２４􀅰山东青岛统考)已知O为坐标原点,复数z１＝１＋i,z２＝２－i,z３＝１＋mi(m∈R)分别表示向量 OA → ,OB → ,OC → ,若AB → ⊥OC → ,则|z３|＝ (　　) A．２ B．３ C．５２ D． ７ ２ ５．(２０２４􀅰兴宁区模拟)已知 O 是三角形ABC 所在平面内一定点,动点 P 满足OP → ＝OA → ＋λ􀅰 |AB → |􀅰AB → sinC ＋ |AC → |􀅰AC → sinB æ è ç ö ø ÷,λ∈R．则P 点的轨迹一定通过三角形ABC 的 (　　) A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 ６．(２０２４􀅰广西桂林市模拟)在四边形ABCD 中,点E为AD的中点,点F为BC的中点,且|AB → |＝１, |CD → |＝２,若AB → 􀅰DC → ＞０,则|EF → |的取值范围是 (　　) A． ５ ２ ,３ ２ æ è ç ù û úú B． １ ２ ,３ ２ æ è ç ] C．１２,＋∞ æ è ç ö ø ÷ D． ５ ２ ,＋∞ é ë êê ö ø ÷ ７．(２０２４􀅰安徽安庆统考模拟)已知非零向量a,b,的夹角为θ,|a＋b|＝２,且|a||b|≥４３ ,则夹角θ的 最小值为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３ D． π ２ ８．(２０２４􀅰海南一模)如图为函数y＝sin２x－π３ æ è ç ö ø ÷的图象,P,R,S为图象与 x 轴的三个交点,Q 为函数图象在y 轴右侧部分上的第一个最大值点,则 (QP → ＋QR → )􀅰(QR → ＋QS → )的值为 (　　) A．π－２ B．π＋４ C．π２－２ D．π２＋４ 二、选择题(本大题共３小题,每小题６分,共１８分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要 求．全部选对得６分,有选错的得０分,部分选对的得部分分．) ９．(２０２４􀅰山东潍坊统考)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x２＋px＋２＝０的两根为x１, x２,其中x１＝１＋i,则 (　　) A．p＝２ B．x２＝１－i C．x１􀅰􀭺x２＝－２i D． x１ x２ ＝i １Ｇ４ １０．(２０２４􀅰广东实验中学校考)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理,它 包含三个结论,其中一个是相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线 段长的积相等．如图,已知圆O的半径为２,点P 是圆O 内的定点,且OP＝ ２,弦AC, BD均过点P,则下列说法正确的是 (　　) A．PA → 􀅰PC → 为定值 B．OA → 􀅰OC → 的取值范围是[－２,０] C．当AC⊥BD 时,AB → 􀅰CD → 为定值 D．AC⊥BD时,|AC → |􀅰|BD → |的最大值为１２ １１．折扇又名“纸扇”,是一种用竹木或象牙做扇骨,韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子．如图１,其 平面图是如图２的扇形 AOB,其中∠AOB＝１５０°,OA＝２OC＝２OD＝２,点F 在弧AB 上,且 ∠BOF＝１２０°,点E在弧CD 上运动．则下列结论正确的有 (　　 ) A．OD → 􀅰DA → ＝ ３－１ B．OF → ＝λOA → ＋mOB → ,则λ＋m＝ ３＋１ C．OF → 在DF → 方向上的投影向量为５ ７DF → D．EF → 􀅰EB → 的最小值是－３ 三、填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．(２０２４􀅰广东汕头统考)已知向量a＝(２,１),b＝(x,３),若b在a 方向上的投影向量为a,则x的 值为　　　　　． 第 １３ 题 图 １３．(２０２４􀅰和平区月考)如图,在等腰△ABC 中,AB＝AC＝３,D,E与M,N 分别是AB, AC的三等分点,且DN → 􀅰ME → ＝－１,则cosA＝　　　　,AB → 􀅰BC → ＝　　　　． １４．(２０２４􀅰山东济宁统考)已知向量a、b不共线,夹角为θ,且|a|＝２,|b|＝１,|a＋λb|＋ |a－λb|＝４ ２,若４ ３３ ≤λ＜２ ２ ,则|cosθ|的最小值为　　　　． 四、解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分)已知△ABC中,AB＝２,AC＝１,∠BAC＝１２０°,AD 为角平分线． (１)求AD 的长度; (２)过点D 作直线交AB,AC于不同两点E、F,且满足AE → ＝xAB → ,AF → ＝ yAC → ,求１ x＋ ２ y 的值,并说明理由． ２Ｇ４ １６．(１５分)(２０２４􀅰安徽黄山市高三第一次质检)如图,已知△ABC 外接圆的圆 心O 为坐标原点,且O在△ABC内部,A(１,０),∠BOC＝２π３． (１)求∠AOB＝７π１２ ,求AO → 􀅰AB → ; (２)求△ABC面积的最大值． １７．(１５分)(２０２４􀅰安徽六安一中模拟)在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且acosB＋bcosA＝ ２ccosA． (１)求角A; (２)若向量m＝(cosB,２cosA),n＝ ０,cos２C２ æ è ç ö ø ÷,求|m－２n|的取值范围． ３Ｇ４ １８．(１７分)(２０２４􀅰广东五校联考)已知m＝(－tsinα,cosα),n＝(－１,sinα＋t)． (１)t＝０时,求m􀅰n的取值范围; (２)若存在t,使得m􀅰n＝１,求t的取值范围． １９．(１７分)已知在平面直角坐标系中,O为坐标原点,定义非零向量OM → ＝(a,b)的“相伴函数”为y＝ asinx＋bcosx(x∈R),向量OM → ＝(a,b)称为函数y＝asinx＋bcosx(x∈R)的“相伴向量”;记平 面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S． (１)已知α∈R,h(x)＝cos(x＋α)＋２cosx,若函数h(x)为集合S中的元素,求其“相伴向量”的模 的取值范围; (２)已知点 M(a,b)满足条件:a＝３,０＜b≤ ３,若向量OM → 的“相伴函数”y＝g(x)在x＝x０ 处取得 最大值,当b在区间(０,３]变化时,求tan２x０ 的取值范围; (３)当向量OM → ＝(３,１)时,“相伴函数”为 f(x),若x∈ ０,１１π６[ ],方程f ２(x)＋(２－a)f(x)＋a－３＝０存在４个不相等的实数根,求实数a的取 值范围． ４Ｇ４ 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 创新示范卷(四) 数学答题卡 选择题 (共５８分,１~８小题,每小题５分,９~１１小题,每小题６分) 正确填涂　　　　　 　１ A B C D 　４ A B C D 　７ A B C D 　１０ A B C D 　 ２ A B C D ５ A B C D ８ A B C D １１ A B C D 　 ３ A B C D ６ A B C D ９ A B C D 　　　　 　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 非选择题　　　　　　　　　(需用０．５毫米黑色签字笔书写) 填空题(本大题共３小题,每小题５分,共１５分．) １２．　　　　　　　　　　　　　　　　　１３．　　　　　　　　　　　　　　　　 １４．　　　　　　　　　　　　　　　　 解答题(本大题共５小题,共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) １５．(１３分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页１第　)四(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １６．(１５分) １７．(１５分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页２第　)四(卡题答学数 考生 必填 姓名　　　　座号 考生务必将姓名、座号用０．５毫米黑色签字笔认真填写在书写框内,座 号的每个书写框只能填写一个阿拉伯数字．填写样例:若座号０２,则填 写为０２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 １８．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 )页４共(　页３第　)四(卡题答学数 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 １９．(１７分) 请在各题目的答题区域内作答,超出边框的答案无效 　请 在 各 题 目 的 答 题 区 域 内 作 答 , 超 出 边 框 的 答 案 无 效 )页４共(　页４第　)四(卡题答学数 数学（新） =+e3+。++e 4 c0=号i=号a-a0. te-e1-e-nstey 4 :CE-[CA+号A店-AC]-号AB-gAC] =t+e✉ 2 4.C[由题意可得，0A=1,1),0B=(2,-1).0C=1, 故ch(x+y)=ch(x)ch(y)+sh(x)h(y)； m),所以AB=OB-OA=(1,-2),又AB⊥OC,所以AB 导数：h'(x)=e-（-e=g+e 2 2 -=chx,ch'(x)= 0=1.-2)1m）=1-2m=0,所以m=号， e-e 2=h.x =+m()-] (2)构造函数F(x)=h(.x)-arx∈[0，+oo),由(1)可知 F'(x)=ch(x)-u, 5.C[由正孩定理可知AB=AC sin C sin B =2R,R为三角形的 i当a≤1时，由0=>≥e=1≥ 外接国的半径，所以动点P满足OP-OA+ 可知，故F(x)≥0，故F(x)单调逼增， 此时F(x)≥F(0)=0,故对任意x>0,sM(x)>ax恒成 A-oi+2ur店+Ad.月 sin B 立，满足题意： i.当a>1时，令G(x)=F(x),x∈[0，+oo), 为AB十AC是以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线 A为起点的向量，经过BC的中点， 则G(x)=sh(x)≥0，可知G(x)单调递增， 所以P点的轨迹一定通过三角形ABC的重心，] 由G(0)=1-u<0与G1n2a)=>0可知，存在唯- Aa 6.A[因为EF-EA十AB+BF,EF-ED+DC+CF, x。(0,ln2a),使得G(x)=0, 又点E为AD的中点，点F为BC的中点，所以2EF 故当x∈(0.o)时，F(x)=G(x)<G(x）=0,则F(x) 在(0，)内单调递减， AB+DC,又图为0<AB·DC≤1X2=2, 故对任意x∈(0，x),F(x)<F(0)=0,即h(x)<a, 所以4EF2=AB+DC+2AB.DC>4+1=5, 矛盾： 综上所述，实数a的取值范围为（一∞，1门. 且4EF12-AB+DC+2AB·DC≤5+2×1×2-9， (3)f(x)=ch(r)-cos -2,f(x)=sh(r)+sin x- 所以+E∈6,91，脚EF∈(5，]门 2.x,令g(x)=f(x)=sh(.x)+sinx-2x,则g'(x)= ch(r)+cos -2,h(r)=g'(r)=ch(z)+cos r-2. 7.C[由a+b=4有|a+b2+2a·|bcos0=4, 则h'(.x)=sh(x)-sinx,当x∈[0，十o∞)时，由(2)可 即4≥2la.b11+co0)≥号1+cm. 知，sh(x)≥x,则h'(x)=sh(x)-sinx≥r-sin, 令u(x)=x-sinx,则u(x)=1-cosx≥0，故u(.x)在 前一个等号成立条件为1a=b1,整理得c0s0长 [0,十oo)内单调递增，则h'(x)≥u(x)≥u(0)=0,故 h(x)在[0，十∞)内单调递增，则g'(x)=h(.x)≥h(0) 由于0e[0,],所以T≤0≤π，于是夹角为日的最小值 0,故g(x)在[0，十oo)内单调递增，则了(x)=g(x)≥ g(0)=0,故f(x)在[0，十∞)内单调递增，因为f(一x) 为 =h(-x)-cos(-x)-(-x)2=ch(x)-co5x-x2= 8.D[设PR的中点为A, y f(x),即f(x)为偶函数，故f(x)在（一∞，0]内单调递 RS的中点为B, 减，则f(x)n=f(0)=0,故当且仅当x=0时，f(x)取 得最小值0. y=sim(2红-景)中，◆2红 0 创新示范卷（四） =受，解得x- 3 选择题答案速查 题号12 45678 9 10 11 所以Q(8 答案AC DC C A C DBD ACDBCD 令2x一晋=，解得=所以A(0 1.A[由共机复数定又得=号一受。-（号+） 同理（答0）s(0） =+所以-+-+ -2+2-2 i- 所以（竖）Qi=(停-)Qi=-1w. -1+i.] 所以(QP+QR).(Q求+Q5)=2Q.2QB=4Qi.QB 2.CLAB·(AB+AC)=|AB+AB·IAC1cosA =4[牙×x+(-Dx(-D]=+4] 1+1X5x音=4] 9.BD[国为x=1十i且实系教一元二次方程x2+px十2 3.D[E为线段AD的中点，则CE 二0的两根为所以=2，可得=是-吊 (CA+CD),又D满足BC =1-i,故B正确；又十x2=1十i十1一i=2=一p,所 2 以p=一2，故A错误：由z=1十i,所以西·x2=(1十i)= 3 BD. 2产.故C错误：兰告护-兽=i故D x21-i 2 正确.] 答案-10 参考答案 10.ACD[如图.设直线PO与圆O交于E,F.则 12.解析：因为b在a上的投影向量为a, 所以(b-a)⊥a,则a·(b-a)=0, 因为a=(2,1),b=(x,3),所以b一a=(x一2,2)， 从而a·(b-a)=2(x-2)十1×2=0，解得x=1. 答案：1 13.解析：取BC的中点为O,以点O为 原，点，直线BC为x轴，建立如图所 示的平面直角坐标系，设OC=a,@ P.P心=-PAP心=-EP1P >0,则： =-(1OE-IPOD(IOE+IPOD)=IPO-IOE A(0,√9-a),B(-a,0),C(a,0), =一2，故A正确. D4.219-a 3 3 取AC的中点为M,连接OM, 则OA·OC=(OM+MA)·(OM+MC)=OM-M心 E 2a√9-a Γ33 =0M-(4-0M)=2OM-4, M,29-a） 而0≤0M≤1O币=2. 3 3 3 故OA·OC的取值范围是[一4,0]，故B错误： DN-a.-19-a 3 当AC⊥BD时，AB·CD=(AP+PB)·(CP+PD)= ME- 9-a AP,CP+PB·PD 3 =-APCPI-PBIIPDI=-21EPPFI=-4. :DN.ME=-+94=-1,解得a= 9 5 故C正确. 当AC⊥BD时，圆O半径r=2,取AC中点为M,BD 中点为N, 则1AC1BD2=4(r-OM)×4(r2-ON)≤ -(言)-（信》 16×4-0M+4=0N)=4×(8-2y=14. -(后 4 936 最后等号成立是因为1OM:+0示：=0OP:=2, ..cos A= AB.AC 5T5=3 IABIIACI 3×3 不等式等号成立当且仅当|OM=|ON?=1,故D 正确.] AB.BC=-3×6=-18 11.BCD[以O为坐标原，点.OB为 55 -51 x轴建立如图平面直角坐标系， 因为∠AOB=150°，OA=2OC 答案：号 2OD=2,∠BOF=120°，所以 14.解析：如图F,OPA及 F(-13),B(2.0),D(1,0) OF,PA为平行四边形， A-..c(-2设Bosm0.00≤ 31 F-2.0)5(2.0).令 F,O=a,F1A=b,则 警对于A项，00·DA-10)(--1D-- FP=a+ib,F:P=OA =-(a-b),因为a十 一1，故A错误， b+|a-b1=4√2，即 对于B项.0亦=A0+mOB,即一8+2m=-1解 IPF,|+IPF2|=42, =3. 由椭圆的定义可知，点P的轨迹是以F,(一2,0)，F2(2, 0)为焦点的椭圆其中a=2√巨、c=2, 得=5，m=1,十m=3+1.故B正确。 对于C项，因为OF=(-1,3),DF=(一2,3)，所以 所以其轨连方程为营+学-1 O亦在DF方向上的投影向量为OF:D亚.D下=三× 因为1,5≤<22，所以当X45,即OP=4y3时. 3 3 DFI IDFI7 cos01的值最小， 正-号丽故C正， 此时点P的坐标为 对于D项，E示.EB=(-1-co0.5-in0)·(2 cos 0,-sin 0)=-2-cos 0+cos-3sin 0+sin0= 将点卫的坐标代入写+ -1 -1-2in(+晋）国为0<0K晋，所以晋<0+若< ng 4 =1,解得|cos0= x0≤(0+吾)1，所以0=子时，E示·EB最小为 2 -1-2×1=-3,故D正确.] 答案号 答案-11 数学（新） 1点据，①根据角手分境定型受-是-2…贸号 (2)由题意得，存在1，使得m·n=t(sina十cosa)十 sin acos a=1. “AD=AB+BD=AB+二BC-AB+号(AC-AB) 号+号成市=店+合成+号店.心 Esin(a+)因为a∈R, 3 所以2sin(a+）[-E回，即x-反， (2:A店-rA店.AF-yA=号A店+号AC 正+号正，EDF三点先线心法十易 则mmse=0十go」号，所以mn 2 =x+号- 专-1当=0时方氧为01+号-号 +号-8 =1,此时不存在1使得方程有解， 16.解：(1)由题知A(1,0),故圆的半径为1，所以OB引 1OA=1OC=1,所以A0·AB=A0·(OB-OA)= 当x≠0时，1= x =-音+e[-E.o -OA·OB+|OA2=1-1X1Xcos∠AOB= 1-os晋-1-cos(+）) U00,则x[-E0时，函数1=-受+是在x∈ [一2,0)上单调递减，此时 -1(××-1+，2 4 1=- ,x∈(0，w2时，函数t (2)由知，外接国的半径为1，因为∠B0C-号，所以 受+是在r0回上单捐递减，此时1=一 ∠BAC=5,在△ABC中，由正孩定理可得：，“元 sin 3 县[停+) sin/BAC=2,解得：a=5,在△ABC中，由余孩定理 签上以的取维花国为（，一][停+) 可得：o∠BAC=8+4=名化满可得：6+( 19.解：(1)h(x)=cos(x十a)+2cosx 2bc cos xeos a-sin xsin a+2cos x=-sin a.sin +(2+ 3十bx,由基本不等式可知6+e2≥2br, 即3+c≥2b,所以解得x≤3，当且仅当b=c=√3时取 cosa)cosx.∴.函数h(x)的相伴向量OM=(-sina,2 等，所以Sm-言n∠BAC-9<3,故 cos a),I OMI =(sin a)+(2+cos a)= √5+4cosa.∴.cosa=1时，|OM|m.=V5+4=3: AC西软的最大位为3 c08a=一1时， 17.解：(1)由正弦定理可知：aco5B十bcos A=2 ccos A等 OMn=√-4=1.∴.OM的取值范围为[1.3]， 价于sin Acos B+sin Bcos A=2 sin Ccos A. (2)OM的相伴函数g(x)=asin x+beos a=√后+ 即sinC=2 sin Ccos A,因为sinC≠0， sin(+) 所以有c0sA=号，又A∈(0，)，所以A=受 其中cos9= b Va+b (2)m=(cos B.2cos A).n=( 当x十9=受+2x,k∈乙，即x=受-9十2k,k∈乙 m-2m=(eosB,20sA-2cos号）=(cosB,2cosA 时，g(x)取得最大值， -cos C-1)=(cos B.-cos C), m-2m*=cos'B+cos'C=cox 2B+1+cos 2C+1 2 :0<b≤5，∴.tanx∈[5，+oo), =1+(os2B+o(-2B)）】 ·∈[停+，受+x水e∈z,2。∈ =1+m(答-2B） [+2xx+2x）k∈D, 国为0<B<经，所以-吾<吾-2B<吾，剥有-1< ∴.tan2xn∈[-√5,0) in(答-2B）<号.所以1+是im(答-2B）∈ (3)f(x)=3sin x+cos =2 [合·)m一2m的取值范国为[停受) 2sin(e+吾）片 18,解：(1)1=0时，m·n=sin acos=2sin2a, 当p晋]时+晋[后2小 由于a∈R,所以sin2a∈[-1,1]，所以m·n 由f产(x)+(2-a)fx)+a-3=0,得：(fx)-1)(f(x) [] (a-3))=0, ∴.f(x)=1或f(x)=a-3, 答案-12 参考答案 由)=1.即i加(+)2而r[0,晋]解 4.D[从第k站出发时，放上车的邮件共有：(n一1)+(n 一2)+…十(n一k)个. 得x=0或x= 而从第二站起，每站放下的邮件共：1十2十3十…十(k 1)个. 即)=1在z[0.号]上有两个根， 所以a4=[(n-1)+(n-2)+…+(n-k)]-[1+2+3 方程)+2-af)+a-3=0在，号]上 +…+(k-1)] =kn-(1+2+…+k)-[1+2+3+…+(k-1)] 存在4个不相等的实数根， =km-6(质+D_k-1)(k-1+D 当里级事=a-3且a一31在r[,背]上有 2 2 两个不等实根， 2 在同-坐标系内作出画数y=)在∈[D,号]上 =6如-合号+号=6a-=m-.能a, 的图像和直线y=a一3，如图， k(n-k).] 5.A[由分数的性质得到1十1+十1=“十a+ a十a+…+a十a.周为aa1=a=aa:=a,a,所 a:ay 以原式=a十a十…十a-2又aa…as=16= (aas)a,>0a,as=2d2+1+…+1=2.] 6.A[:a+a+…+√an=n+,∴.n=1时， 方程)=a-3u≠4在x∈[0，告]上有两个不等 √a1=2,解得a1=4, 实根， n≥2时，a1+a2+…+√a。-=(n-1)2+n-1, 当且仅当函数y=)在x∈[0，号]上的图像和直 相减可得：√an=2na,=4n.n=1时也成立. 线y=a一3(a≠4)有两个公共点， ÷号=4ma,+受++费=41+2+…+）=4X 71 观察图像知：一2<a-3≤0或1<a-3<2, 解得1<a≤3或4<a<5, n(1+02=2m+2m.] 2 所以实数a的取值范围是(1,3]U(4,5). 7.C[因为a。+a.+g=2a.+1十2，所以(atg-a.+1) 创新示范卷（五） (a+1一an)=2,又a2a1=3,所以数列{an1-a.}是以 选择题答案速查 3为首项，2为公差的等差数列，所以4+1一4。=3十2(n 题号12 3 45678 91011 -1)=2n十1.所以a,=(a,-a。-）十(a-1-a。-2)十 +(a2-a)+a1=(2n-1)+(2n-3)+…+3+1= 答案ABBDA AC BBC ACD AB 1.A[数列{a。}是等比数列，得a正=a1a,若数列{a}中 n(1+2n-12=n(n≥2)， 2 a-a1aa,则数列{an不一定是等比数列，如数列1,2,4， 当n=1时也符合上式，故4n=n, 6,8,10,12,14,…,所以反之不成立，则“数列{4。)是等比 则数列{b}的通项公式 数列”是“a=41u”的充分不必要条件.门 2.B[由{S}是等差数列，可得2S:=S1十S,即2(a1十 。=[）[）+） ag）=a1+a1+ag十a1·.d2=4g 则数列(b.}的前2025项之和为 设等比数列{a}的公比为q,{a}是各项均为正数的 等比数列，则g=%=1.a,=a1>0. 4+4+么+…+=[1+1)+[+号) [+)十+【+ 1 对于A选项，an十S,=(n十1)a1,.数列{a,十S。}是等 =3十2+2十·十2=3十 差数列，因此A正确： 对于C选项，a=a,{)是常数列，且为等差数列，因 2×2024=4051.] 此C正确； 8.B[由题意，a,→a。→aa→a,→a→ai→d,的可能情况 对于D选项，三=4>0， 有：①2→1→4→2→1→4→2：②16→8→1→2→1→4→2： 是等比数列，因此D ③20-*10*5→16→8*4-→2：④3→10-→5→16-*8*4→ 正确： 2:⑤128→64→32→16→8→4→2：⑥21→64→32→16→8 对于B选项山，S,=m,则型=”十不是常数， →4→12.m的所有可能取值为2,16,20,3,128,21，所 有可能取值的和为190.] ∴{a,·S}不是等比数列.因此B不正确.] 9.BC[由题意可知：a2一a1=2,a一a=3,于是有a4 3.B[设等差数列{an}的公差为d, a3=4,dn一a,-1=n(n≥2，n∈N),显然可得：a,=4十a -受=3 a+52a+2 =10,a+1=a。十n十1，因此选项A不正确，选项B正确： 一=3，化简得 5 当n≥2，n∈N°时，an=(an-a,-1)十(a.-1-a.-）+… 2d-之d=3,得d=2] +(a,-a,)+a,=n+(m-1)+…+1=nn+12. 2 答案-13