精品解析：上海市金山区2024届高三二模数学试题

2023学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1 已知集合，，则___________． 2. 已知向量，，若，则实数的值为___________． 3. 函数的定义域为__________． 4. 已知复数满足，则的模为___________． 5. 设公比为2的等比数列的前项和为，若，则___________． 6. 如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____. 7. 设()，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 8. 已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是___________． 9. 为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()最小值为___________． (参考公式：；参考值：） 10. 在的展开式中，记项的系数为，则___________． 11. 某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为___________m．(结果精确到1 m) 12. 已知平面向量、、满足：，，则的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 14. 下列说法不正确的是（ ）． A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22第60百分位数为14 B. 若随机变量服从正态分布，且，则 C. 若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关程度越高 D. 对具有线性相关关系的变量、，且回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 15. 如图，点为正方形的中心，△为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则以下命题中正确的是（ ）． A. B. C. A、、三点共线 D. 直线与相交 16. 设，有如下两个命题： ①函数图象与圆有且只有两个公共点； ②存在唯一的正方形，其四个顶点都在函数的图象上． 则下列说法正确的是（ ）． A. ①正确，②正确 B. ①正确，②不正确 C ①不正确，②正确 D. ①不正确，②不正确 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知函数，记，，，. （1）若函数的最小正周期为，当时，求和的值； （2）若，，函数有零点，求实数的取值范围. 18. 如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，点是的中点，点在上，异面直线与所成的角是． （1）求证：； （2）若，，求二面角的大小． 19. 有标号依次为1，2，…，(，)的个盒子，标号为1号的盒子里有3个红球和3个白球，其余盒子里都是1个红球和1个白球．现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子，…，依次进行到从号盒子里取出2个球放入号盒子为止． （1）当时，求2号盒子里有2个红球的概率； （2）设号盒子中红球个数为随机变量，求的分布及，并猜想的值（无需证明此猜想）． 20. 已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、． （1）证明：点到右焦点的距离为； （2）设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程； （3）当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论． 21. 已知函数与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”． （1）若，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由； （2）若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：； （3）已知，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期质量监控 高三数学试卷 （满分：150分，完卷时间：120分钟） 一、填空题（本大题