上海市上海中学东校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷

2023-2024学年上海市上海中学东校高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分. 1.直线的倾斜角为______. 2.双曲线的渐近线方程为______. 3.在平面直角坐标系中，已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的横坐标是______. 4.直线与圆交于、两点，则______. 5.某公司为了解用电量（单位：与气温（单位：之间的关系，随机统计了4天的用电量与当天气温，并制作了如下对照表： 气温 18 13 10 用电量 24 34 38 64 由表中数据可得回归方程中．试预测当气温为时，用电量约为 　　． 6.若直线，平行，则实数的值为______. 7.已知直线经过两条直线和的交点，且原点到直线的距离为，则这条直线的方程是______. 8.抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为______. 9.已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是______. 10.如图，从椭圆的一个焦点发出的光线射到椭圆上的点，反射后光线经过椭圆的另一个焦点，事实上，点，处的切线垂直于的角平分线．已知椭圆的两个焦点是，，点是椭圆上除长轴端点外的任意一点，的角平分线交椭圆的长轴于点，则的取值范围是______. 11.已知椭圆的离心率为，上顶点为，左顶点为，，分别是椭圆的左、右焦点，且△的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为______. 12.已知实数，满足，则的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.对于，两变量，有四组样本数据，分别算出它们的线性相关系数（如下），则线性相关最强的是　　 A． B．0.78 C． D．0.87 【答案】D 14.设抛物线的焦点坐标为，准线方程为，则该抛物线的方程为　　 A． B． C． D. 15.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为，则　　 A． B． C． D． 16.双曲线绕坐标原点旋转适当角度可以成为函数的图像，关于此函数有如下四个命题： ①是奇函数；②的图像过点或； ③的值域是；④函数一定有两个零点。 则其中所有真命题的序号为（ ） A.①②③ B.①② C.①③ D.①②④ 三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在直三棱柱中，，. （1）求异面直线与所成角的大小； （2）若与平面所成角为，求三棱锥的体积. 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 过点的直线交轴、轴正半轴于、两点，求使： （1）面积最小时的方程； （2）最小时的方程 19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 点、分别是椭圆长轴的左、右顶点，点是椭圆的右焦点．点在椭圆上，且位于轴上方，． （1）求点的坐标； （2）设是椭圆长轴上的一点，到直线的距离等于，求椭圆上的点到点的距离的最小值． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点． （1）求证：的面积为定值． （2）设直线与圆交于点，，若，求圆的方程． （3）在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 已知椭圆斜率为的直线与椭圆有两个不同的公共点 的左、右焦点分别为 （1）若直线经过点，求的周长； （2）若，求面积的取值范围； （3）若，，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，求证：直线过定点，并求出此定点的坐标； 第1页(共5页) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年上海市上海中学东校高二年级下学期 期中数学试卷 2024.4 一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5