2024年中考数学二轮专题复习之对称折叠类问题

中考数学二轮专题复习之对称折叠问题 一、知识导航 一、从性质说起 关于对称的性质，大概可以有以下三点，由于对称前后的图形是全等的，所以 （1）对应角相等； （2）对应边相等； （3）对称点连线被对称轴垂直且平分． 以上由对称必然可以得到，选取恰当的性质帮助解题，不仅要了解知识点，也要了解与其相关配套的条件与问题． 二、典例精析 性质一：对应角相等 由对称得到的对应角相等尤其适合用在求角度的问题中，练习参考以下1-3题： 1． 如图，在中，点是上的点，，将沿着翻折得到，则　　． 【分析】利用对称倒角即可． ∵∠BAD=∠ABC=40°， ∴∠ADC=80°，∠ADB=100°， ∴∠ADE=100°， ∴∠CDE=20°． 2． 如图，在中，，，是斜边上的中线，将沿对折，使点落在点处，线段与相交于点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据对称前后的图形全等，对应角相等． ∵∠B=36°，∠BAC=90°，∴∠C=54°， ∵点D是BC中点，∴AD=CD，∴∠DAC=∠C=54°， ∵△ADF≌△ADC，∴∠DAF=∠DAC=54°， ∴∠EAF=， 又∠F=∠C=54°，∴∠AEF=108°， ∴∠BED=108°，故选B． 3． 如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，若，，则为　　 A． B． C． D． 【分析】在对称前后图形中找相等角． 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBF， 根据折叠可得∠ADB=∠FDB，∴∠DBF=∠FDB， 又∠DBF+∠FDB=∠CFD=40°，∴∠DBF=∠FDB=20°， ∴∠ABC=∠ABD+∠FBD=68°，∴∠E=∠A=112°， 故选B． 对称的图形中可能会有特殊角，而此时特殊角带来的不仅仅是其本身，也可能会连带其他角也变成特殊角．4、5有关30°特殊角，6、7有关60°特殊角． 4． 如图，在矩形中，，是上的一点，将沿直线对折得到，若平分，则折痕的长为　　 A．3 B． C． D．6 【分析】找出图中隐藏的特殊角． 由题意可得：， ∵AD=3，∴，， 故选B． 5． 如图，直线是矩形的对称轴，点在边上，将沿折叠，点恰好落在线段与的交点处，，则线段的长是　　 A．8 B． C． D．10 【分析】根据图形位置的特殊性，寻找隐含条件． 根据点Q在EF上且∠BQP=90°，∴BA=BP， ∴∠ABQ=∠PBQ=∠CBP=30°， ∵，∴PC=4，PB=8， ∴AB=8，故选A． 6． 如图，在矩形中，．将向内翻折，点落在上，记为，折痕为．若将沿向内翻折，点恰好落在上，记为，则　　． 【分析】两次折叠可以得到更多相等． 由题意可得：， ∴， ∴． 7． 如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与、重合），折痕为，若，，则的长为　　． 【分析】等边翻折得到一线三等角． 由题意可得：， 易证△FGD∽△GEB，∴， 设FG=x，则AE=x，DF=8-x， 设GE=y，则AE=y，BE=8-y， 代入得：，解得：， ∴， 故BE的长为． 看似120°的角，实则另有构造． 8． 如图，，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是　　． 【分析】两点之间线段最短可以用来求最大值． 考虑到M是AB中点且∠CMD=120°， ∴作点A关于CM的对称点，作点B关于DM的对称点， 连接，易证是等边三角形， ∴， ， ∴当共线时，CD取到最大值14． 性质二、对应边相等 但凡涉及到对称，基本上都会用到对应边相等，很多内容很难割裂分开，或许按知识点作题目分类值得商榷，但此处只需强调一点：对应边相等．在某些问题中是解题关键． 1． 如图，把三角形纸片折叠，使点、点都与点重合，折痕分别为，，得到，，若，则的长为　　． 【分析】多次折叠存在多组全等． 显然F、G分别是AB、BC中点，故FG是AC边的中位线，求AC长即可． ∵DE=2，∴，， ∴， ∴． 2． 如图，将矩形（纸片）折叠，使点与边上的点重合，为折痕；点与边上的点重合，为折痕．已知，，，求的长． 【分析】根据对称的性质． ∵，∴，， ∵，∴，， 过点K作KP⊥BC交BC于P点， 设KP=x，则EP=x，， ∴，解得x=1， 故，， ∴， 故BC的长为． 3． 如图，把某矩形纸片沿，折叠（点，在边上，点，在边上），使点和点落在边上同一点处，点的对称点为点，点的对称点为点，若，△的面积为4，△的面积为1，则矩形的面积等于　　． 【分析】求矩形面积，考虑能否把矩形相邻两边都算出来． 两端往中间折叠，则可得：， ∵∠FPG=90°，∴， 易证∽， 考虑两三角形面积分别是4和1，所以相似比为2:1， 设AB=a，则，，， ∴， 表示面积：，解得a=2， ，又AB=2， ∴矩形ABCD面