7.5 空间向量的概念与运算（Word练习）-【导学教程】2025年数学新编高考大一轮总复习（人教A版）

[对应学生用书P338] A级[基础过关] 1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x，2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1，2)，若l∥α，则x＝(　　) A．－6　　　　　　　　　 B．6 C．－4 D．4 解析　若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4. 答案　D 2．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝1，则·＝(　　) A.1 B．2 C．3 D． 解析　由长方体的性质可知AD⊥AB，AD⊥BB1，AD∥BC，AD＝BC＝1，＝＋＋，所以·＝(＋＋)·＝·＋·＋·＝0＋2＋0＝1. 答案　A 3．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，点M为BC的中点，则△AMD是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 解析　如图，根据条件·＝(＋)· ＝(·＋·)＝0，所以⊥， 所以△AMD是直角三角形．故选C. 答案　C 4．(多选)已知空间中三点A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(－1，3，1)，则下列结论正确的是(　　) A．与是共线向量 B．与共线的单位向量是(1，1，0) C．与夹角的余弦值是－ D．平面ABC的一个法向量是(1，－2，5) 解析　＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)，不存在实数λ，使得＝λ，所以与不是共线向量，所以A错误；因为＝(2，1，0)，所以与共线的单位向量为或，所以B错误；向量＝(2，1，0)，＝(－3，1，1)，所以cos 〈，〉＝＝－，所以C正确；设平面ABC的法向量是n＝(x，y，z)，因为＝(2，1，0)，＝(－1，2，1)， 所以即 令x＝1，则n＝(1，－2，5)，所以D正确． 答案　CD 5．(多选)下列说法正确的是(　　) A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件 B．若，共线，则AB∥CD C．A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 D．若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件 解析　由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确； 若，共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确； 由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，因为＋＋＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确； 若P，A，B，C为空间四点，且有＝λ＋μ(，不共线)， 当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得－＝λ(－)，即＝λ， 所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确． 答案　CD 6．已知向量a＝(－2，0，1)，b＝(1，2，x)，若a⊥b，则x＝________；若2a＋b＝(－3，2，5)，则|a＋b|＝________． 解析　若a⊥b，则a·b＝－2＋x＝0，解得x＝2.若2a＋b＝(－3，2，2＋x)＝(－3，2，5)，则2＋x＝5，解得x＝3，则b＝(1，2，3)，所以a＋b＝(－1，2，4)，于是|a＋b|＝＝. 答案　2　 7．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋，则实数x的值为________． 解析　＝－x＋＝－x＋(－)＝－x＋.由题意得－x＋＝1，所以x＝－. 答案　－ 8．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝. (1)若|c|＝3，且c∥，求c； (2)求a与b夹角的余弦值； (3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值． 解析　(1)∵c∥， ∴c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m). ∴|c|＝＝3|m|＝3. ∴m＝±1. ∴c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2). (2)∵a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)， ∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1， 又|a|＝＝， |b|＝＝， ∴cos 〈a，b〉＝＝＝－. ∴a与b夹角的余弦值为－. (3)∵ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，ka＋b与ka－2b互相垂直， ∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，∴k＝2或k＝－. 即当ka＋b与ka－2b互相垂直时，k＝2或k＝－. B级[能力提升] 9．(多选)已知ABCD­A1B1C1D1为正方体，下列说法正确的是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·(－)＝0 C．向量与向量的夹角是60° D．正方体ABCD ­A1B1C1D1的体积为|··| 解析　由向量的加法运算得到＋＋＝，∵A1C2＝3A1B，∴2＝32，所以A正确；∵－＝，AB1⊥A1C，∴·＝0，故B正确；∵△ACD1是等边三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴异面直线AD1与A1B所成的角为60°，但是向量与向量的夹角是120°，故C错误；∵AB⊥AA1，∴·＝0，故|··|＝0，因此D错误．故选AB. 答案　AB 10．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有(　　) A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0 B．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥ C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面 解析　对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0，A正确；对于B，若两个非零向量与满足＋＝0，则∥，B正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量是共面向量，C错误；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故D错误． 答案　CD 11．已知空间向量，，的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°.点G为△ABC的重心，若＝x＋y＋z，x，y，z∈R，则x＋y＋z＝________，||＝________． 解析　根据题意得，点G为△ABC的重心，设BC中点为D，则＝＝(＋)，所以－＝(－＋－)，所以＝＋＋，所以x＝y＝z＝，所以x＋y＋z＝1. ||2＝×＝， 所以||＝. 答案　1　 12．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则·的取值范围是________． 解析　由题意，设＝λ，其中λ∈[0，1]，·＝·(＋)＝·(＋λ)＝2＋λ·＝2＋λ·(－)＝(1－λ)2＝1－λ∈[0，1].因此·的取值范围是[0，1]. 答案　[0，1] 13．如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AB，CD的中点，＝2，＝t(0＜t＜1). (1)用向量，，表示向量； (2)若EB⊥ED，求实数t的值． 解析　(1)由＝2，可得－＝2(－)＝＋－2， 所以＝(＋＋). (2)连接MD(图略).由＝t，可得＝t， 所以＝－＝－－t＋＝－t＋，＝－t. 因为EB⊥ED，所以·＝·＝－＋－＋t2－＝0.因为0＜t＜1，所以t＝. C级[拓广探索] 14．向量的运算包含点乘和叉乘，其中点乘就是大家熟悉的向量的数量积．现定义向量的叉乘：给定两个不共线的空间向量a与b，规定：①a×b为同时与a，b垂直的向量；②a，b，a×b三个向量构成右手系(如图1)；③|a×b|＝|a|·|b|sin 〈a，b〉；④若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a×b＝，其中＝ad－bc.如图2，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，则下列结论正确的是(　　) A．|×|＝|| B．×＝× C．(－)×＝×－× D．长方体ABCD­A1B1C1D1的体积V＝(×)· 解析　|×|＝||||·sin 〈，〉＝2×2×sin 90°＝4≠||＝3，所以选项A错误； 根据右手系知×与×反向，所以×≠×，故选项B错误； |(－)×|＝|×|＝2×3×sin 90°＝6， 且×＝－×与同向共线， |×|＝2×3×sin 90°＝6，且×与同向共线， |×|＝2×3×sin 90°＝6，且×与同向共线， 所以|×－×|＝6，且×－×与同向共线， 所以(－)×＝×－×，故选项C正确； 因为长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为2×2×3＝12，由右手系知向量×的方向为垂直底面向上，与反向，所以(×)·＜0，故选项D错误，故选C. 答案　C 15．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，M是A1C1的中点，AB＝7，N，G分别在棱BB1，AC上，且BN＝BB1，AG＝AC，平面MNG与AB交于点H，则＝________，·＝________． 解析　如图，延长MG，交A1A的延长线于K，连接KN，显然KN⊂平面MNG，KN⊂平面ABB1A1，因此平面MNG与AB的交点H即为KN与AB的交点，在堑堵ABC­A1B1C1中，AG∥A1M，则＝＝＝，即KA＝2AA1，又BN＝BB1＝AA1，则KA＝6BN，而KA∥BN，于是得＝＝6，所以AH＝AB＝6，因为AA1⊥AB，A1M⊥AB，所以·＝(＋＋)·＝·＝－6×7＝－42. 答案　6　－42 学科网（北京）股份有限公司 $$