精品解析：上海市华东师范大学第三附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

华东师大三附中2023学年第二学期期中考试 高二数学试题 命题：朱晓妹 审题：周彬 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 在等差数列中，，公差，则____________． 2. 已知函数是幂函数，则实数__________. 3. 已知向量，且，则_________. 4. 抛物线的准线方程为_______. 5. 已知直线和互相平行，则它们之间的距离是___________. 6. 已知随机变量的分布为，则__________. 7. 方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是______. 8. 直线的斜率的取值范围为，则其倾斜角的取值范围是______. 9. 已知椭圆左、右焦点分别为、.若P为椭圆上一点，且，则的面积为______. 10. 已知，动直线：过定点，动直线：过定点，若与交于点（异于点，），则的最大值为______. 11. 数学中有许多寓意美好的曲线，曲线被称为“四叶玫瑰线”（如图所示）. 给出下列三个结论： ①曲线关于直线对称； ②曲线上任意一点到原点的距离都不超过； ③存在一个以原点为中心、边长为的正方形，使得曲线在此正方形区域内（含边界）. 其中，正确结论的序号是________. 12. 定义两个点集S、T之间的距离集为，其中表示两点P、Q之间的距离，已知k、，，，若，则t的值为______. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，13-14每题4分，15-16每题5分．每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，否则一律得零分． 13. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 已知复数z满足，则复数z的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 15. 已知是圆内异于圆心的一点，则直线与圆C的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不能确定 16. 已知椭圆，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，作垂直于轴的直线交椭圆于两点，且，两垂线相交于点，若点的轨迹是某种曲线（或其一部分），则该曲线是（ ）. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17. 在长方体中（如图），，点是棱的中点． （1）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑．试问四面体是否为鳖臑？并说明理由； （2）求直线与直线所成角的大小． 18. 已知向量，. （1）若∥，求值； （2）若，求函数的最小正周期及当时的最大值. 19. 在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，记外接圆为圆． （1）求圆的方程； （2）在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由． 20. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，直线过右焦点且与双曲线交于、两点. （1）若双曲线离心率为，虚轴长为，求双曲线的焦点坐标； （2）设，，若斜率存在，且，求的斜率； （3）设的斜率为，且，求双曲线的离心率. 21. 已知椭圆C：离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值； （3）设和的面积分别为、，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华东师大三附中2023学年第二学期期中考试 高二数学试题 命题：朱晓妹 审题：周彬 时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 在等差数列中，，公差，则____________． 【答案】5 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求解. 【详解】解：因为等差数列中，，公差， 所以， 故答案为：5 2. 已知函数幂函数，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义直接计算作答. 【详解】因为函数是幂函数，则，解得， 所以. 故答案为：2 3. 已知向量，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量垂直的充要条件和平面向量的数量积的坐标运算列方程求解. 【详解】因为，所以 故答案为： 4. 抛物线的准线方程为_______. 【答案】 【解析】 【详解