6.3.1 二项式定理-2023-2024学年高二数学新教材【教材解读】（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.1 二项式定理 [核心素养·学习目标] 课程标准 课标解读 1. 理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式； 2. 掌握二项式系数的规律和指数的变化规律. 3. 掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数. 通过本节课的学习，要求能运用二项式定理求解二项展开式，会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数，能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题. 课前预习 预习01二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (1)这个公式叫做二项式定理． (2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项． (3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数． 预习02二项展开式的通项 (a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作 . 知识讲解 知识点01二项式定理及相关概念 1、定义：公式称为二项式定理 （1）二项展开式： （2）二项式系数：各项的系数叫做展开式的二项式系数 （3）二项式通项：叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式中的第项，可记为： （4）在二项式定理中，若设，，则得到公式 2、二项展开式的特点 （1）展开式共有项； （2）各项的次数和都等于二项式的幂指数； （3）字母的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到为0，字母的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为。 3、对通项公式的两点说明 （1）通项公式是的展开式中的第项，这里； （2）二项式的第项和的展开式第项是有区别的，应用二项式定理时，其中的与不能随便交换位置。 知识点02运用二项式定理的解题策略 1、正用：求形式简单的二项展开式时，可直接由二项式定理展开，展开式注意二项展开式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字母是升幂）。 形如的展开式中会出现正负间隔的情况，对教繁杂的式子，先化简，再用二项式定理展开。 2、逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数。 【注意】逆用二项式定理时，如果项的系数是正负相间的，则原式是的形式。 知识点03求二项展开式中的特定项或特定项的系数的方法 求展开式中的特定项，主要考查的展开式的通项公式的运用，一般需要借助方程的思想求未知数，再将的值代回通项公式求解，注意的取值范围（） （1）求第项，此时令，即，代回通项公式求解； （2）求常数项，即这项不含变量，令通项中变量的幂指数为0，建立方程求解； （3）求有理项，令通项中变量的幂指数为整数，建立方程求解； 【补充】求特定项的系数及相关参数值，可依据上述方法求解。 知识点04求形如展开式中特定项的求解方法 1、因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式的积，再利用二项式定理求解问题； 2、逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解问题； 3、组合知识法：把看成个的乘积，利用组合知识分析项的构成。 知识点05求形如的式子中与特定项相关的量 第一步：分别写出与的二项展开式的通项； 第二步：根据特定项的次数，分析特定项可由与的展开式中的哪些项相乘得到（如可由常数项与项或项与项等相乘得到）； 第三步：把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题。 【大招总结】 大招1 二项式定理的正用、逆用 (1)(a＋b)n的二项展开式有n＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n. (2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢． 大招2二项展开式的通项的应用 求二项展开式的特定项的常用方法 (1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)． (2)对于有理项，一般是先写出通项公式，求其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数集，再根据数的整除性来求解． (3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致． 大招3求两个多项式积的特定项 求多项式积的特定项的方法——“双通法” 所谓的“双通法”是根据多项式与多项式的乘法法则得到(a＋bx)n(s＋tx)m的展开式中一般项为：Tk＋1·Tr＋1＝Can－k(bx)k·Csm－r(tx)r，再依据题目中对指数的特殊要求，确定r与k所满足的条件，进而求出r，k的取值情况． 大招4二项式定理的应用 利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需