第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第三册）

第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质 课程标准 学习目标 ①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.要求能运用二项式定理求解二项展开式； 2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数； 3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题； 4.能理解二项式系数的性质； 5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和. 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 【即学即练1】（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【即学即练2】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式的第3项的二项式系数为15，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【即学即练3】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【即学即练4】（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40B．第4项的二项式系数为10C．不含常数项 D．系数和为32 【即学即练5】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 题型01 求型的展开式 【典例1】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）展开： ． 【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）利用二项式定理展开下列各式： (1)； (2). 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）用二项式定理展开 ． 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）求的展开式． 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）求的展开式． 题型02 二项展开式的逆用 【典例1】（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【典例2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【典例3】（23-24高二下·新疆昌吉）完成下列各题. （1）求的展开式; （2）化简. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）化简：． 题型03 二项展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【典例2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）展开式中的第项与倒数第项的比是，则展开式中的第项为 ． 【典例3】（24-25高三上·江西宜春·期中）的展开式中的系数为 ． 【变式1】（24-25高三上·天津滨海新·期中）的展开式中的含x的项是 ． 【变式2】（24-25高三上·广西·阶段练习）二项式的展开式中的常数项是 . 【变式3】（24-25高三上·天津·阶段练习）展开式中，第4项的系数为 . 题型04 三项展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【典例2】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）的展开式中项的系数为 ． 【典例3】（24-25高二上·上海·假期作业）求的常数项. 【变式1】（24-25高三上·全国·课后作业）在的展开式中，的系数是（    ） A．240 B． C．480 D． 【变式2】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 【变式3】（24-25高三上·湖南·阶段练习）的展开式中的系数为 ． 题型05 几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（24-25高三上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【典例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在关于x的展开式中，的系数是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【典例3】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【变式1】（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 题型06 二项式系数最大项问题 【典例1】（24-25高二上·全国·随堂练习）的展开式中二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【典例3】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知，求展开式中二项式系数最大的项. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）若的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为（    ） A．120 B．252 C．210 D．45 【变式2】（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在二项式的展开式中，若第项的二项式系数最大，则= . 【变式3】（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 . 题型07 系数最大（小）项问题 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【典例2】（24-25高三上·上海·期中）在的二项展开式中，系数最小的项为 . 【典例3】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【变式1】（24-25高三上·上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项． 【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 . 【变式3】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）的展开式中，系数最小的项为第 项. 题型08 赋值法解决系数和问题 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）设，求： (1)； (2)； (3)． 【典例3】（23-24高二下·河南信阳·期末）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. (1)求的值； (2)设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）求的展开式中 (1)各项系数之和； (2)各项的二项式系数之和； (3)偶数项的二项式系数之和； (4)各项系数的绝对值之和； (5)奇次项系数之和. 【变式3】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 题型09 有关整除或求余问题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）若为奇数，求除以11所得的余数． 【典例2】（24-25高二上·上海·假期作业）若为奇数，求被除的余数. 【典例3】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 【变式1】（24-25高三·上海·随堂练习）求证：（且）能被31整除． 【变式2】（23-24高二下·全国·课前预习）证明：能被96整除. 【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求展开式中项的系数； (2)求被7除的余数. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（    ） A．20 B． C．15 D． 2．（24-25高三上·河南·开学考试）展开式中的常数项为（    ） A． B． C．28 D．84 3．（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 4．（24-25高三上·广东·开学考试）展开式中的常数项为（    ） A． B．0 C．5 D．10 5．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 6．（24-25高三上·河北·期中）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为（ ） A．20 B． C．30 D． 8．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 二、多选题 9．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B． C． D．除以10的余数为9 三、填空题 11．（24-25高三上·天津·期中）在的展开式中，项的系数为 .（用数字作答） 12．（24-25高三上·天津·阶段练习）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 13．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 . 四、解答题 14．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）在二项式的展开式中，求： (1)第项的二项式系数和第项的系数； (2)的系数． 16．（24-25高二上·全国·课堂例题）在二项式的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． B能力提升 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数. (1)若，求的值； (2)若对一切均成立，求的取值范围. 18．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 6.3.1二项式定理+6.3.2二项式系数的性质 课程标准 学习目标 ①理解二项式定理的概念，会用二项式定理求解二项展开式。 ②掌握二项式系数的规律和指数的变化规律。 ③掌握多项式展开式的通项及特殊项或系数。 ④理解二项式系数的性质。 ⑤会用赋值法求展开式系数的和。 1.要求能运用二项式定理求解二项展开式； 2.会求展开式中的二项式系数，特殊项及特殊项系数； 3.能用待定法求展开式中的待定系数.能解决与二项式定理相关的综合问题； 4.能理解二项式系数的性质； 5.掌握二项式系数的增减性，灵活应用赋值法求二项展开式各项系数和. 知识点01：知识链接 （1） （2） 知识点02：二项式定理及相关概念 （1）二项式定理 一般地，对于每个（），的展开式中共有个，将它们合并同类项，就可以得到二项展开式：（）.这个公式叫做二项式定理. （2）二项展开式 公式中：，等号右边的多项式叫做的二项展开式. 【即学即练1】（24-25高三·上海·课堂例题）写出的二项展开式 . 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】直接根据二项式定理展开求解即可. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以. 故答案为： （3）二项式系数与项的系数 二项展开式中各项的二项式系数为(),项的系数是指该项中除变量外的常数部分,包含符号等. 【即学即练2】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式的第3项的二项式系数为15，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】由第3项的二项式系数为15，可列方程，解方程可得的值. 【详解】的展开式的第3项的二项式系数为：， 由，解得或（舍去）． 故选：C 【即学即练3】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知的展开式中各项二项式系数和是，则展开式中的常数项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数 【分析】根据二项式系数和可知，再结合二项展开式的通项可得常数项. 【详解】由已知的展开式中各项二项式系数和是，解得， 又二项式的通项为， 令，即时， 常数项为， 故选：C. （4）二项式定理的三种常见变形 ① ② ③ 知识点03：二项展开式的通项 二项展开式中的()叫做二项展开式的通项,用表示,即通项为展开式的第项:.通项体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用. 知识点04：二项式系数的性质 ①对称性：二项展开式中与首尾两端距离相等的两个二项式系数相等： ②增减性：当时，二项式系数递增，当时，二项式系数递减； ③最大值：当为奇数时，最中间两项二项式系数最大；当为偶数时，最中间一项的二项式系数最大. ④各二项式系数和： ； 奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等： 【即学即练4】（多选）（24-25高三上·江西新余·阶段练习）下列对二项式的展开式的说法正确的是：（     ）. A．第3项的系数为40B．第4项的二项式系数为10C．不含常数项 D．系数和为32 【答案】BC 【知识点】求指定项的二项式系数、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】写成展开式的通项，利用通项判断A、B、C；令判断D. 【详解】二项式展开式的通项为，， 所以第3项的系数为，故A错误； 第4项的二项式系数为，故B正确； 令，解得，又，所以展开式不含常数项，故C正确； 令可得系数和为，故D错误. 故选：BC 【即学即练5】（24-25高二上·上海奉贤·期中）在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】根据二项式系数的性质即可确定的值. 【详解】解：因为的展开式的通项为， 所以第4项的系数即是第4项的二项式系数， 因为只有第4项的二项式系数最大，所以. 故答案为：6 题型01 求型的展开式 【典例1】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理可得答案. 【详解】 ． 故答案为：． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）展开： ． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理，求出二项展开式即可. 【详解】由二项展开式可得， . 故答案为： 【典例3】（23-24高二下·江苏·课后作业）利用二项式定理展开下列各式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式 【分析】（1）（2）根据二项式定理逐项展开即可. 【详解】（1） . （2）. 【变式1】（24-25高二·全国·课后作业）用二项式定理展开 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】利用二项式定理展开即可. 【详解】． 故答案为： 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）求的展开式． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】根据二项式定理直接展开整理可得. 【详解】 【变式3】（24-25高二·全国·课后作业）求的展开式． 【答案】答案见解析 【知识点】求二项展开式 【分析】首先写出二项式展开式的通项，再一一计算可得； 【详解】解：展开式的通项为， 所以 ． 题型02 二项展开式的逆用 【典例1】（24-25高三·上海·课堂例题）计算 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】逆向使用二项式定理即可. 【详解】 . 故答案为：. 【典例2】（23-24高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）计算二项式： (1)化简：； (2)写出的展开式并化简. 【答案】(1) (2) 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】（1）根据二项式定理逆运算即可得结果； （2）根据二项展开式的通项公式分析求解. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为的展开式的通项为， 所以. 【典例3】（23-24高二下·新疆昌吉）完成下列各题. （1）求的展开式; （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】（1））根据二项定理，即可得到二项时的展开式； （2）根据二项式定理的逆用，即可得到相应的二项式. 【详解】（1） . （2）原式 . 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）（1）求的展开式； （2）化简：. 【答案】（1）；（2） 【知识点】求二项展开式、二项展开式的应用 【分析】（1）由直接应用或化简后应用二项式定理展开可得； （2）逆用二项式定理化简即可. 【详解】方法一  ： . 方法二：   . （2）原式 . 【变式2】（24-25高二·全国·课后作业）化简：． 【答案】 【知识点】求二项展开式 【分析】根据式子结构，逆用二项式定理即可求解. 【详解】∵，，， ∴原式 ． 题型03 二项展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（24-25高三上·陕西西安·阶段练习）已知展开式各项系数之和为64，则展开式中的系数为（    ） A．31 B．30 C．29 D．28 【答案】C 【知识点】求指定项的系数、由二项展开式各项系数和求参数 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含和的项即可求出展开式中含的项，进而得解. 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式中含的项为， 所以二项式展开式中的系数为. 故选：C. 【典例2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）展开式中的第项与倒数第项的比是，则展开式中的第项为 ． 【答案】 【知识点】由项的系数确定参数、求二项展开式的第k项 【分析】求出二项式展开式的通项，根据题意列方程，解方程即可求解. 【详解】根据题意可知，， 由， 化简得，所以，解得， 所以. 故答案为：. 【典例3】（24-25高三上·江西宜春·期中）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】分取1，取和取，取两种情况讨论即可. 【详解】当取1，取，的系数为； 当取，取时，得的系数为：. 所以的系数为：. 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·天津滨海新·期中）的展开式中的含x的项是 ． 【答案】 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】， 令，得：， 所以含x的项是， 故答案为： 【变式2】（24-25高三上·广西·阶段练习）二项式的展开式中的常数项是 . 【答案】30 【知识点】求二项展开式的第k项 【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到，求出常数项. 【详解】的展开式的通项为. 令，则， 故常数项， 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·天津·阶段练习）展开式中，第4项的系数为 . 【答案】160 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式可得第项的系数. 【详解】由题可得： 所以第项系数为160. 故答案为：160. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，解题时熟记二项式定理的展开式的通项公式，属于基础题. 题型04 三项展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）的展开式中所有项的系数之和为（    ） A．243 B．240 C．237 D．234 【答案】A 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据题意，令，即可求得所有项的系数之和，得到答案． 【详解】由多项式，令，可得所有项的系数之和为． 故选：A. 【典例2】（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理的展开原理，写出通项，利用方程可得答案. 【详解】由题意知的通项为 ， 化简得， 令，得， 即， 所以的系数为. 故答案为： 【典例3】（24-25高二上·上海·假期作业）求的常数项. 【答案】70 【知识点】求二项展开式的第k项、三项展开式的系数问题 【分析】对多项式变形，求出二项式展开式通项，令得，代入即可求解. 【详解】因为， 所以展开式通项为， 令得. 所以的常数项为第5项，. 【变式1】（24-25高三上·全国·课后作业）在的展开式中，的系数是（    ） A．240 B． C．480 D． 【答案】D 【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理直接求解即可. 【详解】根据题意，的项为， 所以的系数是，故D正确. 故选：D． 【变式2】（24-25高三上·上海虹口·阶段练习）的展开式中，项的系数是 . 【答案】5040 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据计数原理确定展开式中含的项，即可得出答案. 【详解】的展开式中，含有的项是， 所以项的系数是5040， 故答案为： 【变式3】（24-25高三上·湖南·阶段练习）的展开式中的系数为 ． 【答案】 【知识点】三项展开式的系数问题 【分析】根据题意，由条件可得展开式中的系数为，化简即可得到结果． 【详解】在的展开式中， 由， 得的系数为. 故答案为：． 题型05 几个二项式的和或积的展开式中的特定项或特定系数问题 【典例1】（24-25高三上·山东·阶段练习）在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【知识点】求二项展开式、求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理求出的展开式，再求出指定项的系数. 【详解】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 【典例2】（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）在关于x的展开式中，的系数是（    ） A．30 B．25 C．20 D．15 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】直接利用二项式定理求解系数即可. 【详解】由题意得展开式的通项为， ，令，得到的系数为， 令，得到的系数为， 所以展开式中的系数是，故A正确. 故选：A． 【典例3】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）的展开式中的系数为 .（用数字作答） 【答案】56 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】由二项式展开式的通项求解即可； 【详解】第一个括号内取1时，第二个为； 第一个括号内取时，第二个为， 所以展开式中的系数为， 故答案为：56. 【变式1】（24-25高三上·广东广州·期中）的展开式中，常数项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项式定理展开式直接计算可求得结果. 【详解】根据题意可知只有与的展开式中的一次项乘积为常数， 即. 故选：B 【变式2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）若的展开式中的系数为，则a的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用二项展开式定理，即可求解. 【详解】因为，的展开式的通项公式为 所以，的展开式中的系数为， 解得， 故选：B. 【变式3】（24-25高三上·四川自贡·期中）在多项式的展开式中，的系数为16，则 ． 【答案】1 【知识点】由项的系数确定参数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】写出的展开式通项公式为，从而根据的系数得到方程，求出. 【详解】的展开式通项公式为， 当时，，当时，， 则的展开式中的系数为，解得. 故答案为：1 题型06 二项式系数最大项问题 【典例1】（24-25高二上·全国·随堂练习）的展开式中二项式系数最大的项是（    ） A．第3项 B．第6项 C．第6，7项 D．第5，7项 【答案】C 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据n＝11为奇数，结合二项式系数的性质，由展开式中第项和第项相等且最大求解. 【详解】因为n＝11为奇数， 所以的展开式中第项和项， 即第6，7项的二项式系数相等，且最大． 故选：C 【典例2】（24-25高二下·全国·课后作业）已知的展开式的第2项系数的绝对值等于第3项系数的绝对值的3倍，则展开式中的二项式系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】求指定项的二项式系数、二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数 【分析】先写出通项，再结合题意解出，最后求出结果即可； 【详解】的展开式的通项为， 依题意可知，解得， 所以展开式中的二项式系数最大的项为和． 故选：C. 【典例3】（24-25高二上·全国·课堂例题）已知，求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】， 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】由题意可知展开式中二项式系数最大的项为中间的两项即第三项和第四项，求解即可. 【详解】5为奇数，展开式共有项， 展开式中二项式系数最大的项为中间的两项即第三项和第四项， 它们分别为，． 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）若的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为（    ） A．120 B．252 C．210 D．45 【答案】C 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】先根据展开式中二项式系数最大求出，再根据二项式的展开式的通项令指数等于 ，求出，即可求出常数项. 【详解】的展开式中第6项的二项式系数最大， ，即， 则的展开式的通项为， 令，即， 故其常数项为. 故选：C. 【点睛】易错点点睛：本题主要考查的是二项式系数问题，在求解有关二项式的问题的时候要注意二项式系数与项的系数的区别. 【变式2】（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）在二项式的展开式中，若第项的二项式系数最大，则= . 【答案】或 【知识点】二项式系数的增减性和最值 【分析】根据二项式系数的对称性和增减性即可求得. 【详解】由二项式系数的对称性及增减性知， 当时，二项式系数随项数的增大而增大， 当时，二项式系数随项数的增大而减小， 且， 故或. 故答案为：或. 【变式3】（24-25高三上·广东汕头·阶段练习）的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、二项式系数的增减性和最值 【分析】由二项式系数性质得值，然后由二项展开式通项公式确定常数项． 【详解】展开式中二项式系数只有第4项最大，则， ， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 题型07 系数最大（小）项问题 【典例1】（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）若的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（    ） A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项 【答案】C 【知识点】二项式系数的增减性和最值、由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】由的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得，求出，即可求得展开式中系数最大的项. 【详解】由的展开式中第2项与第8项的系数相等， 由的展开式的二项式系数和项的系数相等， 所以，所以， 则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项， 故选：C． 【典例2】（24-25高三上·上海·期中）在的二项展开式中，系数最小的项为 . 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】根据二项展开公式直接计算可得出系数最小的项. 【详解】由题意得，根据二项展开公式可得， ， 所以系数最小的项为 故答案为：. 【典例3】（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知的二项式系数之和为4096． (1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大项． 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）利用二项式系数可得，求得，进而求得展开式的通项为，根据题意得，可求得展开式的常数项； （2）设展开式第项的系数最大，得出不等式组，可求得系数最大的项. 【详解】（1）因为的二项式系数之和为4096． 所以，解得， 所以二项式展开式的通项为， 令，解得，所以展开式的常数项为. （2）设展开式中第项的系数最大， 则，可得，解得， 因为，所以，所以系数最大的项为. 【变式1】（24-25高三上·上海·阶段练习）在的展开式中系数最大的项是第 项． 【答案】 【知识点】二项式系数的增减性和最值、求系数最大（小）的项 【分析】根据二项式的展开项的通项确定系数为，结合组合数的性质即可得系数最大的项. 【详解】的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数， 故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 【变式2】（24-25高三上·上海嘉定·期中）在的展开式中系数最大的项为 . 【答案】 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】根据二项展开式，求出项的系数，即可求出系数最大的项. 【详解】的二项展开式的通项为, 其项的系数为，故当为偶数时，项的系数才有可能最大， 当时，项的系数分别为, 故系数最大的项为, 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）的展开式中，系数最小的项为第 项. 【答案】四 【知识点】求系数最大（小）的项 【分析】利用二项展开通项公式，结合列举法分析系数最小的项的情况，从而得解. 【详解】因为的展开通项公式为， 由于的存在，只需考虑的情况， 对应的项的系数分别为，，， 所以当时，系数最小，此时该项为第四项. 故答案为：四. 题型08 赋值法解决系数和问题 【典例1】（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】二项展开式的应用、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和 【分析】（1）由展开式的通项计算即可； （2）利用赋值法计算即可. 【详解】（1）二项式展开式的通项为，， 因为， 所以； （2）令，则， 令，则，可得， 因此. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）设，求： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)544 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）令，求得，令，求得， 结合，即可求解； （2）令和，分别求得和，结合 ，即可求解； （3）由展开式知，，为正，，为负，由此可计算． 【详解】（1）在中， 令，得，令，得， 所以； （2）在中， 令，得． 令，得． 所以； （3）由展开式知，，为正，，为负， 令，得 又. 【典例3】（23-24高二下·河南信阳·期末）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为. (1)求的值； (2)设， ①求的值； ②求奇次项的系数和. 【答案】(1)8 (2)①255，②（也正确） 【知识点】元素（位置）有限制的排列问题、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，按照分步乘法计数原理计算可得； （2）①令，，根据二项展开式的系数和即可求解； ②令即可求解； 【详解】（1）首先排甲，再将乙丙安排再甲的左右两位置中的一个，则所有不同的排法种数有； （2）在， 令，得； 令，得①； . 令，得②； ②，得.（也正确） 【变式1】（24-25高二上·全国·课前预习）设． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】 (1)令，即可求解； (2)令，即可求解； (3) 分别令，，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）， 令 ，得， 即． （2）由题意知：令，得， ． （3）分别令，，得 ，得． ． 【变式2】（24-25高二上·上海·假期作业）求的展开式中 (1)各项系数之和； (2)各项的二项式系数之和； (3)偶数项的二项式系数之和； (4)各项系数的绝对值之和； (5)奇次项系数之和. 【答案】(1)1 (2)32 (3)16 (4)243 (5)122 【知识点】二项式的系数和、求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）利用赋值法，令，可求所有系数和； （2）利用二项式定理的性质可求所有二项系数和； （3）利用二项式定理的性质可求序号为偶数的项的二项式系数和； （4）根据通项公式可判断序号为奇数的项系数为正，序号为偶数的项系数为负，进而利用赋值法可求系数的绝对值的和； （5）利用，可求值. 【详解】（1）设， 令得各项系数之和. （2）各项的二项式系数之和为. （3）偶数项的二项式系数之和为. （4）由二项式的通项公式， 所以，， 令，可得， 所以. （5）. 【变式3】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)1 (2) (3) 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】（1）赋值法，令求解即可； （2）赋值法，令再结合（1）求解即可； （3）赋值法，令和求解即可. 【详解】（1）令，得，故. （2）令，得， 故. （3）令，得， 结合， 故. 题型09 有关整除或求余问题 【典例1】（24-25高二下·全国·课后作业）若为奇数，求除以11所得的余数． 【答案】余数为0 【知识点】整除和余数问题 【分析】根据二项式定理可得，进而可得. 【详解】因为 ， 由于具有11的倍数且和10的幂接近的数分别是99，9999，， 因为为奇数，为偶数，故余数为0． 【典例2】（24-25高二上·上海·假期作业）若为奇数，求被除的余数. 【答案】7 【知识点】二项展开式的应用、整除和余数问题 【分析】根据二项式展开式可得，即可根据二项式展开，即可求解余数. 【详解】因为 由于为奇数，所以上式可化为， 所以被除的余数为7. 【典例3】（23-24高二下·浙江嘉兴·期中）已知二项式. (1)若它的二项式系数之和为，求展开式中系数最大的项． (2)若，求二项式的值被除的余数； 【答案】(1) (2) 【知识点】二项式的系数和、求系数最大（小）的项、整除和余数问题 【分析】（1）利用二项式系数和公式先求，再利用展开式通项公式列不等式组计算即可； （2）将变形为，利用二项式定理计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 则的展开通项公式为， 假设展开式中系数最大的项为第项， 则， 即，解得，所以， 展开式中系数最大的项为第6项， 即； （2）因为时， ， 记，显然能被9整除， 所以二项式的值被除的余数为. 【变式1】（24-25高三·上海·随堂练习）求证：（且）能被31整除． 【答案】证明见解析 【知识点】求等比数列前n项和、整除和余数问题 【分析】利用等比数列求和公式和二项式定理化简得到，证明出结论. 【详解】因为 ， 显然为整数，所以原式能被31整除． 【变式2】（23-24高二下·全国·课前预习）证明：能被96整除. 【答案】证明见解析 【知识点】整除和余数问题 【分析】将化成的形式，再利用二项式定理展开整理得到的倍数形式即可. 【详解】 ， 原式能被96整除． 【变式3】（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）在①各项系数之和为；②常数项为；③各项系数的绝对值之和为1536这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题. 在的展开式中，______.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)求展开式中项的系数； (2)求被7除的余数. 【答案】(1)9 (2)6 【知识点】求指定项的系数、二项展开式各项的系数和、两个二项式乘积展开式的系数问题、整除和余数问题 【分析】（1）由所选条件，利用展开式系数与系数和的性质，列方程求n； （2）由（1）知，利用二项式定理展开，即可证明数据是6的倍数. 【详解】（1）选条件①各项系数之和为，取，则，解得； 选条件②常数项为，由，则常数项为，解得； 选条件③各项系数的绝对值之和为1536，即的各项系数之和为1536，取，则，解得； 所以展开式中项的系数为. （2） ， ， 所以被7除的余数为6. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2025高三·全国·专题练习）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（    ） A．20 B． C．15 D． 【答案】A 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据二项式系数的概念直接求解即可. 【详解】第4项的二项式系数为． 故选：A. 2．（24-25高三上·河南·开学考试）展开式中的常数项为（    ） A． B． C．28 D．84 【答案】D 【知识点】求指定项的系数 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出展开式的常数项. 【详解】展开式的通项， 令，得， 所以所求常数项为. 故选：D 3．（23-24高二下·广西·期中）二项式的展开式中第项的二项式系数为（    ） A． B．15 C． D．20 【答案】D 【知识点】求指定项的二项式系数 【分析】写出展开式的通项，即可得到第项的二项式系数为. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 所以二项式的展开式中第项的二项式系数为． 故选：D． 4．（24-25高三上·广东·开学考试）展开式中的常数项为（    ） A． B．0 C．5 D．10 【答案】B 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题、求二项展开式的第k项 【分析】直接由二项式定理进行求解即可. 【详解】展开式中的通项为， 所以展开式中的常数项为. 故选：B. 5．（23-24高二下·北京海淀·期末）的展开式中，所有二项式的系数和为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】二项式的系数和 【分析】根据二项式的展开式的性质，所有二项式系数和为即得. 【详解】的展开式中所有二项式的系数和为. 故选：B. 6．（24-25高三上·河北·期中）的展开式中，的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【知识点】求指定项的系数 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再由给定幂指数求解即得. 【详解】二项式展开式的通项为， 由，得，所以的展开式中的系数为. 故选：A 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）在的展开式中，若各项系数的和为，则的系数为（ ） A．20 B． C．30 D． 【答案】B 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据题意，令，结合条件可得，再由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题知，令，则原式为， 因为各项系数的和为，所以，则， 则原式为， 因为通项为， 所以的系数为. 故选：B. 8．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（   ） A．32 B．-32 C．0 D．1 【答案】D 【知识点】二项式的系数和、二项展开式各项的系数和 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得， 则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】奇次项与偶次项的系数和、二项展开式各项的系数和、求指定项的系数 【分析】AB选项，利用二项式定理得到通项公式，求出，；CD选项，赋值法得到，，，从而求出答案. 【详解】A选项，的通项公式为， 当时，，A正确； B选项，当时，，B正确； C选项，中， 令得， 令得， 故，C错误； D选项，中， 令得， 又， 故，D正确. 故选：ABD 10．（23-24高二下·江西·阶段练习）若，则下列说法正确的是（   ） A．的展开式中奇数项的二项式系数之和为 B． C． D．除以10的余数为9 【答案】BC 【知识点】求指定项的系数、整除和余数问题、二项展开式各项的系数和、奇次项与偶次项的系数和 【分析】由二项展开式二项式系数之和的性质判断A；利用赋值法判断B；利用展开式通项公式判断C；利用构造二项式的展开式来解决整除和余数问题判断D. 【详解】的展开式中奇数项的二项式系数之和为，故A错误； 令，可得，令，， 则，故B正确； ，故C正确； ，故除以10的余数为1，故D错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（24-25高三上·天津·期中）在的展开式中，项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】根据展开项的通项公式求解出的值，代入求解出可知项的系数. 【详解】展开项的通项公式为，， 令，解得， 所以， 所以项的系数为， 故答案为：. 12．（24-25高三上·天津·阶段练习）在的展开式中，的系数为 （用数字作答）． 【答案】 【知识点】求指定项的系数 【分析】利用二项式定理求出项即可. 【详解】二项式的展开式中，含的项为， 所以的系数为. 故答案为： 13．（2024高三·全国·专题练习）的展开式中，常数项为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】根据题意，展开式中的项为或，令或，可得常数项. 【详解】根据题意，的通项为， 则展开式中的项为或， 令或，得或， 从而展开式常数项为． 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知在的二项展开式中. (1)若，求展开式中含项的系数； (2)若展开式含有常数项，求最小的正整数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】求指定项的系数、由项的系数确定参数 【分析】（1）根据题意，由二项展开式的通项公式，即可求得展开式中含项的系数； （2）根据题意，在二项展开式的通项公式中，令的幂指数为，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）当时，展开式的通项公式为， 令，解得，所以展开式中含项的系数为. （2）展开式的通项公式为， 令，解得，因为， 所以当时，取得最小值，此时展开式含有常数项， 所以最小的正整数的值为. 15．（24-25高二上·全国·课堂例题）在二项式的展开式中，求： (1)第项的二项式系数和第项的系数； (2)的系数． 【答案】(1)第6项的二项式系数为，第6项的系数为 (2) 【知识点】求指定项的二项式系数、求指定项的系数 【分析】（1）根据条件得到二项式通项为，即可求出结果； （2）利用（1）中的通项公式，即可求出结果. 【详解】（1）由已知得，二项式通项为， 所以， 所以第6项的二项式系数为，第6项的系数为． （2）设展开式中的第项为含的项，则由（1）得，即， 所以展开式中第4项含，其系数为． 16．（24-25高二上·全国·课堂例题）在二项式的展开式中，求： (1)第4项； (2)常数项； (3)有理项． 【答案】(1) (2) (3)，，，， 【知识点】求二项展开式的第k项、求有理项或其系数、求指定项的系数 【分析】（1）根据二项式展开式的通项，即可根据求解； （2）根据求解即可代入求解； （3）根据的取值为整数可得，，代入即可得解. 【详解】（1）的展开式的通项为． 令， 则． （2）由（1）中二项式展开式的通项，令，解得，所以常数项为 （3）由（1）中二项式展开式的通项，当时，是有理项， 分别为，，，，． B能力提升 17．（24-25高二上·上海·阶段练习）设，的二项展开式为，其中、、…、均为常数. (1)若，求的值； (2)若对一切均成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由项的系数确定参数、求系数最大（小）的项 【分析】（1）由二项式定理展开式的通项分别求出可得； （2）利用展开式的通项和组合数的性质求出随着的递增而减小，再分对所有，2，3，4成立和对所有，6，7，…，19成立求出即可； 【详解】（1）在的二项展开式中，，系数， ，系数，则，解得； （2）对于，1，2，…，20，系数，， 这样，随着的递增而减小， 据已知，是的最大项，那么对所有，2，3，4成立，这4项中最小的是，解得 同时对所有，6，7，…，19成立，这些项中最大的是，解得， 所以. 18．（24-25高二上·上海奉贤·阶段练习）已知（n为正整数）. (1)若，求该式的展开式中所有项的系数之和； (2)若，求该式的展开式中无理项的个数； (3)若，求该式的展开式中系数最大的项. 【答案】(1)1 (2)15 (3) 【知识点】二项展开式各项的系数和、求系数最大（小）的项、二项式的系数和、求有理项或其系数 【分析】（1）由求出，再令可得答案； （2）由求出，求出展开式的通项公式，再由的指数不为整数可得答案； （3）求出展开式的通项公式由解不等式可得答案． 【详解】（1）由可得， 令可得， 所以展开式中所有项的系数之和为1； （2）若，则，解得，或舍去， 设的通项为， 且， 所以当时可得展开式中的无理项，所以共有15个无理项； （3）设的通项为， 且， 最大的项为偶数， 则，解得， ， 所以展开式中系数最大的项为． / 学科网（北京）股份有限公司 $$