浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一素养班下学期期中考试数学试卷

绍兴一中2023学年第二学期期中考试 高一（素养班）试卷 命题：沈栋啸 校对：凌晓锋 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数z满足（i为虚数单位），则 A． B． C． D． 2．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为 A． B． C． D． 3．已知样本数据的平均数和标准差均为4，则数据 的平均数与标准差分别为 A． B． C． D． 4．一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为 A． B． C． D． 5．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为 A． B． C． D． 6．若的第百分位数是，则的取值范围是 A． B． C． D． 解：的第百分位数是， 则，所以. 7．如图是棱长均相等的多面体，其中四边形是正方形，点分别为DE,AB,AD,BF的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 8．在正方体中，点分别是直线上的动点，点是△内的动点（不包括边界），记直线与所成角为，若的最小值为，则与平面所成角的正弦的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在12件同类产品中，有9件正品和3件次品，从中任意抽出3件产品，设事件“3件产品都是次品”，事件“至少有1件是次品”，事件“至少有1件是正品”，则下列结论正确的是 A．与为对立事件 B．与不是互斥事件 C． D． 10．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，样本容量为，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间内的人数为16．则 A．图中 B．样本容量 C．估计该市全体学生成绩的平均分为71.6分 D．该市要对成绩前的学生授予“优秀学生”称号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至少为77.25分 11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a.则 A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为 B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 C．勒洛四面体中过三点的截面面积为 D．勒洛四面体的体积 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数，这个试验的样本空间 ． 13．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ． 14．在三棱锥中，二面角的大小为，，，则三棱锥外接球表面积的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数，(其中为虚数单位) （1）当复数是纯虚数时，求实数的值； （2）若复数对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是以2为边长的菱形，且，，为的中点． (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）为了了解学生躯干、腰、髋等部位关节韧带和肌肉的伸展性、弹性等，某学校对在校1500名学生进行了一次坐位体前屈测试，采用按学生性别比例分配的分层随机抽样抽取75人，已知这1500名学生中男生有900人，且抽取的样本中男生的平均数和方差分别为和13.36，女生的平均数和方差分别为和17.56． (1)求样本中男生和