微专题17 空间中的五种距离问题-2023-2024学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题17 空间中的五种距离问题 【题型归纳目录】 题型一：点线距 题型二：异面直线的距离 题型三：点面距 题型四：线面距 题型五：面面距 【方法技巧与总结】 空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 【典型例题】 题型一：点线距 【典例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高二·山东济南·期末）如图所示为正八面体的展开图，该几何体的8个表面都是边长为1的等边三角形，在该几何体中，P为直线DE上的动点，则P到直线AB距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高二·重庆·期中）如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 题型二：异面直线的距离 【典例2-1】（2024·高一·全国·课后作业）边长为1的正方体中，直线和之间的距离为 . 【典例2-2】（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离． 【变式2-1】（2024·高二·广西桂林·期中）是正角形所在平面外一点，分别是和的中点，且.    (1)求证：是和的公垂线； (2)求异面直线和之间的距离. 题型三：点面距 【典例3-1】（2024·四川自贡·一模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点. (1)判断直线与平面的位置关系； (2)若与平面所成角为，求到平面的距离. 【典例3-2】（2024·上海杨浦·一模）如图所示，在四棱锥中，平面，底面是正方形.    (1)求证：平面平面； (2)设，若四棱锥的体积为，求点到平面的距离. 【变式3-1】（2024·四川达州·一模）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为的中点. (1)证明：平面平面； (2)若，求点到平面的距离. 题型四：线面距 【典例4-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，且. (1)求直三棱柱的表面积与体积； (2)求证：平面，并求出到平面的距离. 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面，，为棱的中点.若，求到平面的距离.    【变式4-1】（2024·上海·模拟预测）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 题型五：面面距 【典例5-1】（2024·高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，、、、分别为、、、的中点． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面之间的距离． 【典例5-2】（2024·高二·天津河北·期末）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面与平面的距离. 【变式5-1】（2024·高二·内蒙古赤峰·阶段练习）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，EF与相交于H． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求平面EGF与平面的距离． 【过关测试】 1．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，四棱锥中，平面，，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 2．（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧面均为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点.    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 3．（2024·高一·新疆省直辖县级单位·期末）如图，在正方体中，.    (1)求证：∥平面； (2)求点到面的距离. 4．（2024·上海·三模）在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设； （1）求的值； （2）求直线到平面的距离. 5．（2024·高二·上海杨浦·期中）已知长方体. （1）求证：平面 （2）若，，求和平面的距离. 6．（2024·山西晋城·二模）如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，，点在上. （1）证明：平面； （2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题17 空间中的五种距离问题 【题型归纳目录】 题型一：点线距 题型二：异面直线的距离 题型三：点面距 题型四：线面距 题型五：面面距 【方法技巧与总结】 空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 【典型例题】 题型一：点线距 【典例1-1】（2024·广东佛山·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小