重难点15 空间中的五种距离问题（五大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点15 空间中的五种距离问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 空间中的距离 求点到面的距离转化为三棱锥等体积法求解． 03 典型例题 【典例1-1】（广东省东莞市东莞一中、东莞高级中学2022-2023学年高一下学期第二次质量检测数学试题）设所在的平面，，PB、PC分别与成45°和30°角，，点P到BC的距离是_________________． 【答案】 【解析】如图所示： 根据题意可知，又， 所以；； 又，所以； 作于，由平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以，所以即为点P到BC的距离； 易知，由勾股定理可得． 即点P到BC的距离． 故答案为： 题型一：点线距 典型例题 【典例1-2】已知正方体的棱长为1，则点B到直线的距离为_________． 【答案】 【解析】如图，连接，过B作，则即为点B到直线的距离， 在正方体中，平面，， 在直角中，，且， 所以 ， 点B到直线的距离为． 故答案为：． 题型一：点线距 典型例题 【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，分别是和的中点，求异面直线与间的距离． 【解析】如图所示： 过作于与的延长线交于， 则是在平面内的射影． ∵是的中点，∴， 过分别作的垂线，垂足分别为，则易知， ∴ 又， 可得，又， 因此 可得， 即与间的距离为． 题型二：异面直线的距离 典型例题 【典例2-2】（2024·高二·上海静安·期末）正方体，棱长为，则棱所在直线与直线间的距离为 ． 【答案】 【解析】如图，取中点，连接， 在正方体中， 因为平面，平面 所以， 又，， 则是异面直线和的公垂线， 因为，正方体，棱长为， 所以． 故答案为： 题型二：异面直线的距离 典型例题 【变式2-1】（2024·高三·全国·专题练习）单位正方体中，求与间的距离． 【解析】如图，在的延长线上取一点，使，构造斜棱柱． ∵，平面，平面， ∴平面， 因此与间的距离等于与平面间的距离，记作． ∵， 另一方面， ∴，因此，∴与间的距离为． 题型二：异面直线的距离 典型例题 【典例3-1】（2024·高一·河南洛阳·阶段练习）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，平面，E为的中点． （1）证明：平面； （2）设，，求点D到平面的距离． 【解析】（1）连接，交于点O，连接， ∵四边形是平行四边形，∴是的中点， 又∵E为的中点，∴是三角形的中位线，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）∵平行四边形中，，，， ∴，则，故， 又∵平面，∴，，都是直角三角形， ∵，∴，，，∴，∴，∴， 因为是的中点，所以，且， 所以，， 设点到平面的距离为，由得：，解得． 题型三：点面距 典型例题 【典例3-2】（2024·陕西榆林·一模）在三棱锥中，为的中点． （1）证明：⊥平面． （2）若，平面平面，求点到平面的距离． 【解析】（1）因为，为的中点，所以， 又因为平面，所以⊥平面． （2）因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 因为，所以均为等边三角形， 故，故， 所以， 因为平面，平面， 所以，由勾股定理得， 取的中点，连接，在中，，故⊥， 故，， 设点到平面的距离为，所以，解得． 题型三：点面距 典型例题 【变式3-1】（2024·西藏拉萨·一模）如图，正方体的棱长为2． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离． 【解析】（1）由于，所以四边形是平行四边形， 所以， 平面，平面，∴平面． （2）设点到平面的距离为， 因为， 所以， 即，解得． 所以点到平面的距离为． 题型三：点面距 典型例题 【典例4-1】（2024·湖南岳阳·模拟预测）如图，在直三棱柱中， ，且． （1）求直三棱柱的表面积与体积； （2）求证：平面，并求出到平面的距离． 【解析】（1）因为，所以， 则直三棱柱的表面积为， 其体积为． （2）证明：因为平面平面，所以平面． 过点作，垂足为． 由题意得，又，所以平面， 又平面，则，所以， 又，平面，平面，所以平面， 在Rt中，， 所以到平面的距离为． 题型四：线面距 典型例题 【典例4-2】（2024·高三·全国·专题练习）如图，为菱形外一点，平面， ，为棱的中点．若，求到平面的距离．    【解析】因为平面，不在平面内，所以平面， 则到平面的距离即为点到平面的距离， 设点到平面的距离为， 因为，， 平面，，四边形为菱形， 所以，解得， 即到平面的距离为． 题型四：线面距 典型例题 【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）设正方体的棱长是2，求棱和平面的距离． 【解析】连接BD、AC， 为正方体， 四边形ABCD为正方形， ， ，， 平面， 到平面的距离为， 平面， 到平面的距离即