重难点专题09 立体几何中的截面问题（六大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题09 立体几何中的截面问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 1、突破思维定式，灵活分析问题 解答高中数学立体几何截面问题要突破思维定式，多视角地进行观察、分析、对比，深人地理解截面对原立体几何图形体积造成的影响，避免掉进出题人设计的陷阱之中． 2、注重应用经验，快速破解问题 解答高中数学立体几何截面问题时应注重具体问题具体分析，尤其遇到似曾相识的问题时应注重联系已有的解题经验，应用所学的几何知识找到参数之间的内在关系，构建正确的数学方程，快速破解问题． 3、借助几何模型，化陌生为熟悉 在解答一些高中数学立体几何截面问题时，应用几何模型化陌生为熟悉，可大大降低解题难度，提高解题效率．解题时应认真审题，充分挖掘隐含条件，将陌生图形融人熟悉的情境中，以更好地找到解题思路，达到事半功倍的解题效果． 03 典型例题 【例1】（2024·高一·浙江衢州·期末）用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（    ） ①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【解析】用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形， 如图所示： 故选：C. 题型一：判断截面形状 典型例题 【变式1-1】（2024·高一·上海宝山·期末）在正方体中，棱长为4，、分别为棱、的中点，点在对角线上，且，过点、、作一个截面，该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【解析】因为，故为的中点.又为正方体， 故可延长，分别交与的延长线于， 设直线分别交于，易得过点、、的面即平面. 因为为中点，且，故，，， 所以，故，即.又，故. 又为的中点，同理可得，故， 所以，，故在线段内. 连接交于，综上可知点、、截正方体的截面为五边形. 故选：C 题型一：判断截面形状 典型例题 【变式1-2】（多选题）（2024·高三·山东潍坊·期中）正方体的棱长为2， 已知平面，则关于截此正方体所得截面的判断正确的是（    ） A．截面形状可能为正三角形 B．截面形状可能为正方形 C．截面形状可能为正六边形 D．截面面积最大值为 【答案】ACD 【解析】如图，显然A,C成立，下面说明D成立，如图设截面为多边形， 设，则， 则 所以多边形的面积为两个等腰梯形的面积和， 所以 因为，， 所以 当时，，故D成立。 故选：ACD． 题型一：判断截面形状 典型例题 【例2】（2024·高三·四川成都·开学考试）如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是 ．    【答案】 【解析】取中点，连接，, ∵中点为，E是侧棱的中点， ∴,, 又在直角三角形中, ∴, ∵正方体中， ∴四边形为平行四边形, ∴ ∴, 四点共面，即为正方体的截面. 在直角三角形中, 同理,则截面周长为. 故答案为:. 题型二：截面周长 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如图，在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，则由点确定的平面截正方体所得的截面多边形的周长等于 . 【答案】6 【解析】作（实际上）交于，延长交延长线于．连接交于点，可证分别是的中点，同理取中点，连接，六边形即为截面，该六边形为正六边形，由正方体棱长为易得正六边形边长为1，周长为6. 故答案为：6. 题型二：截面周长 典型例题 【例3】（2024·高一·河南省直辖县级单位·阶段练习）一个正棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，则此正棱锥的高被分成的两段之比为（　　） A．1∶ B．1∶4 C．1∶（+1） D．1∶（﹣1） 【答案】D 【解析】设截后棱锥的高为h，原棱锥的高为H， 由于截面与底面相似，一个正棱锥被平行于底面的平面所截， 若截得的截面面积与底面面积的比为1∶2，， 则此正棱锥的高被分成的两段之比：. 故选：D 题型三：截面面积 典型例题 【变式3-1】（2024·高一·江苏镇江·阶段练习）在边长为2的正方体中，是的中点，那么过点、、的截面图形为 （在“三角形、矩形、正方形、菱形”中选择一个）；截面图形的面积为 . 【答案】 菱形 【解析】如图，取的中点为，连接, 因为且, 所以四边形为菱形， 所以过点、、的截面图形为菱形； 连接,则, 所以截面图形的面积为， 故答案为: 菱形；. 题型三：截面面积 典型例题 【例4】（2024·高二·上海浦东新·阶段练习）在正方体中，M，N，P分别为，AD，的中点，棱长为1． (1)求证：平面；