重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点专题14 利用传统方法解决二面角问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 二面角的求法 法一：定义法 在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 方法技巧 二面角的求法 法二：三垂线法 在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角．如图1，具体步骤： ①找点做面的垂线；即过点，作于； ②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过作于，连接； ③计算：为二面角的平面角，在中解三角形． 方法技巧 二面角的求法 法三：射影面积法 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（，如图2）求出二面角的大小； 方法技巧 二面角的求法 法四：补棱法 当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法解题． 方法技巧 二面角的求法 法五：垂面法 由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角． 03 典型例题 【例1】（2024·高一·浙江金华·期中）如图，在三棱锥中，，D为的中点，平面，垂足O落在线段上．（1）证明：； （2）已知，，，且直线与平面所成角的正弦值为． ①求此三棱锥的体积； ②求二面角的大小． 【解析】（1）因为，为的中点，所以， 又平面，则，又平面，所以平面， 又平面，所以； （2）①由平面，则直线与平面所成角为， 则，由，为的中点， 所以，则，所以， 由平面，所以，所以； ②在平面内作于，连接，由， 又，平面，所以平面， 所以，则为二面角的平面角， 在直角三角形中，，在直角三角形中，， 在直角三角形中，，所以，在直角三角形中，，所以， 所以在三角形中，，所以，则，同理， 而，所以，即二面角的大小为． 题型一：定义法 典型例题 【变式1-1】（2024·高二·全国·专题练习）四边形是正方形，平面，且．求： （1）二面角的平面角的度数； （2）二面角的平面角的度数； 【解析】（1）平面，平面， ，又四边形为正方形，， 平面，平面， 又平面，平面平面， 二面角的平面角的度数为； （2）平面，平面，平面， ，． 为二面角的平面角． 又由题意可得， 二面角的平面角的度数为； 题型一：定义法 典型例题 【变式1-2】（2024·广东东莞·高一校联考阶段练习）如图，在三棱锥V-ABC中，，，，，且，，则二面角V-AB-C的余弦值是_________________ 【答案】 【解析】取的中点，连接、，如下图所示： ，为的中点，则，且，，， 因为，为的中点，可得，又因为所以， 则二面角的平面角为， 由余弦定理得， 因此，二面角的余弦值为． 故答案为：． 题型一：定义法 典型例题 【例2】（2024·高二·浙江金华·期末）如图，已知四棱锥的底面是菱形，，对角线交于点平面，平面是过直线的一个平面，与棱交于点，且． （1）求证：； （2）若平面交于点，求的值； （3）若二面角的大小为，求的长． 【解析】（1）四棱锥的底面是菱形，，又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以． （2）由平面，平面，得平面平面， 而，平面，于是平面，又平面， 则，即三点共线，由平面，平面，则， 如图，在中，过点作的垂线，垂足为，于是， 设，由，得，，， 从而，所以，即． （3）  过点作于点，连接， 由平面，平面，则，而平面， 则平面，而平面，于是， 则有为二面角的平面角，即， 在菱形中，由，得，则， 由（2）得，所以． 题型二：三垂线法 典型例题 【变式2-1】（2024·高二·上海普陀·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． （1）求证：直线平面； （2）若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 【解析】（1）∵E，F分别是棱、的中点，∴在中，， ∵平面，平面，∴直线平面； （2）∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， ∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为， ∴，∴，∵平面，，⊂平面， ∴，，∵，，，平面， ∴平面，∴是直线与平面所成角， ∵直线与平面所成角为，∴， ∴，，设， 则，，，， ∴为等腰直角三角形，， ∵，，∴是二面角的平面角， ∴二面角的大小为． 题型二：三垂线法 典型例题 【变式2-2】（20