重难点10 轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）（课件）-2023-2024学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第二册）

重难点10 轻松解决空间几何体的体积问题 01 02 03 目录 CONTENTS 题型归纳 方法技巧 典型例题 01 题型归纳 题型归纳 02 方法技巧 方法技巧 直接法 割补法 换底法 求体积方法 03 典型例题 【例1】（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，，． (1)求证：平面平面； (2)若，，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【解析】（1）平面，平面，所以． ，，平面且，所以平面，又平面，所以：平面平面． （2）设和相交于点，连接．如图： 由（1）知，平面，所以是直线与平面所成的角， ，所以． 四边形为等腰梯形，，∴，均为等腰直角三角形， 梯形的高为，梯形的面积为． 在等腰三角形中，，∴，∴，， 四棱锥的体积为． 题型一：直接法 【变式1-1】（2024·高一·福建宁德·期末）在四棱锥中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，且，E为线段PA的中点. (1)求证：平面BDE.(2)求三棱锥的体积 【解析】（1）如图，连接交于点，连接. ∵四边形是正方形，在中，为的中点， 又∵为的中点，∴， 又∵平面，平面，∴平面； （2）如图，取的中点，连接， 则且， ∵平面，∴平面， ∴就是三棱锥的高. ∴. 题型一：直接法 【例2】（2024·高三·江苏连云港·期中）如图，在几何体中，四边形是边长为3的正方形，平面与平面的交线为. (1)证明：； (2)若平面平面，H为的中点，，，，求该几何体的体积. 【解析】（1）证明：∵，而平面，平面， ∴平面，又∵平面， 平面平面，∴，∴. （2）∵，，H为中点，∴. 而，∴，∵平面平面. 平面平面，平面，∴平面. 过E分别作交于点I，交于点J，连接. ∴. 题型二：割补法 【变式2-1】（2024·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①， 因为，即S为的中点，所以， 又，故多面体的体积为． （2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则， 易知，又点O到平面MDC的距离为， 所以． 题型二：割补法 【变式2-2】（2024·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在棱长为的正方体中，截去三棱锥，求 （1）截去的三棱锥的表面积； （2）剩余的几何体的体积. 【解析】（1）由正方体的特点可知三棱锥中，是边长为的等边三角形，、、都是直角边为的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积 （2）正方体的体积为，三棱锥的体积为， 所以剩余的几何体的体积为. 题型二：割补法 【例3】（2024·高二·陕西西安·期末）如图，在四棱锥中，，，， 平面平面． (1)求证：平面； (2)设，，求三棱锥的体积． 【解析】（1）取的中点，连接， 因为，为中点，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又因为，，所以，且，平面，所以平面． （2）由（1）知平面，因为平面，所以，又，，所以， 因为，所以为等腰三角形，所以 所以， 所以. 题型三：换底法 【变式3-1】（2024·高三·内蒙古呼和浩特·期末）如图1，在直角梯形ABCD中，，， ，E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置， 得到四棱锥. (1)证明：； (2)当平面平面时，求三棱锥的体积. 【解析】（1）在图1中，连接,∵，，E是AD的中点，所以四边形是正方形，∴, ∴在图2中，，， 又，、平面，∴平面. 又，且，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面， 又∵平面，∴； （2）∵平面平面，平面平面，，平面， ∴平面， 又∵，， ∴. 题型三：换底法 【变式3-2】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在正方体中，E是的中点. (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【解析】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 题型三：换底法 【例4】（2024·高一·江苏苏州·期末）中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”的“祖暅原理”，其中“幂”是截面积，“势”是几何体的高．如图，已知正六棱台的上、下底面边长分别为1和2，高为，一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”，则该几何体的体积为（    ） A． B． C． D．21 【答案】D 【解析】因为正六棱台的上下底面为正六边形， 所以，， 所以， 由祖暅原理知该几何体的体积也为. 故选：D． 题型四：祖暅原理 【变式4-1】（2024·高一·福建福