2024年中考数学二轮专题复习之相似三角形模型

中考数学二轮专题复习之相似模型 一、知识导航 1． “A”字型 在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC，． 2． “8”字型 若ED∥BC，则△ABC∽△ADE．． 3． 双“A”型与双“8”型 如图，EF∥BC，则有 证明思路：→→（更比变换） 4.反“A”字型 （1）反“A”字：△ABC∽△AED 小结：共边之积相等． （2）母子型：△ABE∽△ACB 小结：平方式，找母子 （3）推论：△ADC∽△AEB 证明：∵△ABC∽△AED ∴ ∴（更比变换） 又∵∠DAC=∠EAB ∴△ADC∽△AEB 5.反“8”字型 （1）反“8”字：△AOB∽△DOC 小结：共边之积相等． （2）推论：△AOD∽△BOC 证明：∵△AOB∽△DOC ∴ ∴（更比变换） 又∵∠AOD=∠BOC ∴△AOD∽△BOC 总结：反“A”+反“8” 如图，∠ADE=∠ACB，则有： ∵∠DAE=∠CAB，∠ADE=∠ACB ∴△ADE∽△ACB；（第1组相似） ∵△ADE∽△ACB ∴ ∴（更比） 又∵∠DAC=∠EAB ∴△ADC∽△AEB；（第2组相似） ∵△ADC∽△AEB ∴∠ACD=∠ABE 又∵∠BOD=∠COE ∴△BOD∽△COE；（第3组相似） ∵△BOD∽△COE ∴ ∴ 又∵∠BOC=∠DOE ∴△BOC∽△DOE（第4组相似） 6．双垂直模型 当CD⊥AB、BE⊥AC时，由双垂直可得∠ABE=∠ACD，故反“A”+反“8”模型中的四组相似均成立． 3．射影定理 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC交BC边于D点，则有： △BAD∽△BCA： △CAD∽△CBA： △ADB∽△CDA： 7．一线三等角模型 （1）三垂直相似 如图，AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE． △ABC∽△CDE，． 证明：∠BAC+∠B=∠ACD=∠ACE+∠DCE ∵∠B=∠ACE=90°， ∴∠BAC=∠DCE 又∵∠B=∠D=90° ∴△ABC∽△CDE． （2）三垂直相似之中点的故事 若点C为BD中点，则有△ABC∽△CDE∽△ACE． 下证：△CDE∽△ACE． ∵△ABC∽△CDE， ∴ ∴ ∴ 又∠CDE=∠ACE， ∴△CDE∽△ACE． （3）一线三等角 如图，∠ABC=∠ACE=∠CDE，则有△ABC∽△CDE; 同样，若点C为BD中点，则有△ABC∽△CDE∽△ACE． 8．三角形内接正方形 结论：（d为内接正方形边长） 证明：， 9．三平行模型 如图，AB∥CD∥EF，记，CD=b，EF=c，则有． 证明：EF∥AB→△DEF∽△DAB→ EF∥CD→△BEF∽△BCD→ ∴ ∴． 10．线束定理 EF∥BC，则有． 二、真题演练 1．如图，P为的边上的一点，E，F分别为，的中点，，，的面积分别为S，S1，S2．若，则的值是（　　）    A．24 B．12 C．6 D．10 2．如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( ) A．8 B．10 C．12 D．14 3．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于 m． 4．如图，在中，，D是上一点，点E在上，连接交于点F，若，则＝ ． 5．如图，∠MPN=90°，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B分别在边PM、PN上移动，连接PC，Q为PC上一点，且PQ=2QC，则线段BQ长度的最小值为 ． 6．如图，在中，点D在BC上，，连接AD，，则线段AD的长为 ．    7．已知：在中，，于点，点在直线上，，，，则的面积是 ． 8．如图，正方形的边长为，平分交于，F是BC延长线上一点，且，延长线交于，则的值是 ． 9．如图，中，点在上，，若，，则线段的长为 ． 10．在△OAB中，OA＝OB，点C在直线AB上，BC＝3AC，点E为OA边的中点，连接OC，射线BE交OC于点G，则的值为 ． 11．如图，已知三角形铁皮的边，边上的高，要剪出一个正方形铁片，使、在上，、分别在、上，则正方形的边长 ． 12．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 13．如图，AD与BC交于O点，，，，，求CD的长． 14．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．