专题10空间向量与立体几何解答-2024年新高考数学三轮冲刺（真题考点+查缺补漏）（新高考专用）

专题10空间向量与立体几何解答（新高考专用） 目录 【三年考点】 2 【考点1】长方体模型中平行关系及求二面角 2 【考点2】三棱锥模型中线线垂直及求二面角 3 【考点3】三棱锥模型中面面垂直及求二面角 5 【考点4】三棱柱模型中线面垂直及求线面角 6 【考点5】三棱柱模型中点面距离及求二面角 7 【考点6】三棱锥模型中线面平行及求二面角 9 【考点7】三棱锥模型中面面垂直及求线面角 10 【考点8】三棱锥模型中线线垂直及求线面角 12 【考点9】三棱锥模型中线线垂直及已知二面角求体积 13 【考点10】直棱柱模型中线线垂直及二面角探究性问题 15 【查缺补漏】 16 【补漏1】线面（面面）平行性质、求线面角（二面角） 16 【补漏2】线面（面面）垂直性质、求线面角（二面角） 18 【补漏3】已知线面角求其他量 19 【补漏4】点到面的距离向量求法 20 【补漏5】圆锥（圆台、圆柱、球）模型 22 【补漏6】正方体模型 23 【补漏7】四棱锥模型 24 【补漏8】组合体模型 26 【补漏9】折叠模型 28 【考前梳理】 30 三年考点 【考点1】长方体模型中平行关系及求二面角 1．（2023·全国·高考真题）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 变式训练： 2．（2023·全国·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，，点，分别在棱，上，，，点在线段上，且. (1)证明：. (2)点在对角线上，当二面角的余弦值为时，求的长度. 3．（2024·江苏徐州·一模）如图，在正四棱柱中，，，E为的中点，经过BE的截面与棱，分别交于点F，G，直线BG与EF不平行．    (1)证明：直线BG，EF，共点； (2)当时，求二面角的余弦值． 4．（2023·全国·模拟预测）如图，在正四棱柱中，，E，F，G分别为棱AD，DD1，BC的中点，M为线段D1G上一点． (1)求证：平面； (2)当时，求二面角的正弦值． 【考点2】三棱锥模型中线线垂直及求二面角 1．（2023·全国·高考真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 变式训练： 2．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 3．（22-23高二下·江苏南京·期末）如图所示，在三棱锥中，已知平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若，，在线段上（不含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 4．（21-22高二上·浙江杭州·期末）如图，在三棱锥中，，O为AC的中点． (1)证明：⊥平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且二面角为，求的值． 【考点3】三棱锥模型中面面垂直及求二面角 1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.    (1)证明：平面； (2)证明：平面平面BEF； (3)求二面角的正弦值. 变式训练： 2．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在三棱锥中，和均为等腰直角三角形，为棱的中点，且． (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值． 3．（2024·全国·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，点D为BC的中点，点E在线段AC上，且． (1)求证：平面； (2)若，且，求二面角A－PD－E的余弦值． 4．（2024·四川遂宁·二模）如图，在三棱锥中，M为AC边上的一点，，，，． (1)证明：平面平面； (2)若直线PA与平面ABC所成角的正弦值为，且二面角为锐二面角，求二面角的正弦值． 【考点4】三棱柱模型中线面垂直及求线面角 1．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距离为1．    (1)证明：； (2)已知与的距离为2，求与平面所成角的正弦值． 变式训练： 2．（2024·四川巴中·一模）如图，在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 3．（2024·辽宁·二模）如图，在直三棱柱中，，点是棱上的一点，且，点是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 4．（2024·广东梅州·一模）已知三棱柱中，，，且，，侧面底面，是的中点. (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得与平面的所成角为60°.如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由. 【考点5】三棱柱模型中点面距离及求二面角 1．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． (1)求A到平面的距离； (2)设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 变式训练：