专题04基本不等式求最值（八大考点+一个易错点+精准训练）-2025年高考数学一轮复习考点剖析及精准练习（新高考专用）

专题04基本不等式求最值 一、基本不等式：（一正二定三相等） （1）基本不等式成立的条件：. （2）等号成立的条件，当且仅当时取等号． 二、几个重要不等式 1. 2. 3. 4. 三、利用基本不等式求最值问题 （1）如果积xy是定值P，那么当且仅当时，x＋y有最小值是.(简记：积定和最小) （2）如果和x＋y是定值P，那么当且仅当时，xy有最大值是.(简记：和定积最大) 考点01配凑法 【例1】（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【例2】已知，则的最小值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】若，则的最小值是 . 【变式1-2】若，则的最小值为 . 【变式1-3】，则的最小值是 ，此时a＝ ． 考点02“1”的代换 【例3】若，且，则的最小值为 ． 【例4】已知，则的最小值为 ． 【变式2-1】已知实数，且，则的最小值是 ． 【变式2-2】已知，且，则的最小值为 ． 【变式2-3】已知实数，，且，则的最小值是 ． 考点03有和有积型 【例5】设，，，则（    ） A．有最大值8 B．有最小值8 C．有最大值8 D．有最小值8 【例6】已知且，则的最大值为 ，最小值为 ． 【变式3-1】（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，且，则的最大值为 . 【变式3-3】已知，则的最小值是 ． 考点04消元法 【例7】若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【例8】已知实数满足，则的最小值是 ． 【变式4-1】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（     ） A． B．8 C． D． 【变式4-2】已知，，则的最小值为 ． 【变式4-3】已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 考点05利用基本不等式比较大小 【例9】（多选）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例10】（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，的最小值是2 C．当时， D．当时，的最小值为3 【变式5-1】（多选）若，则，中不可能是最大值的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（多选）已知正数a，b满足，，则（    ） A． B． C． D． 考点06基本不等式与对勾函数 【例11】下列函数的最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【例12】下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（多选）已知正实数a，b满足，则的可能取值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式6-2】若函数在是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知方程，求的取值范围 ． 考点07恒成立问题 【例13】当，且满足时，有恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知正实数a，b满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【变式7-1】（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】若两个正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式7-3】已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 . 考点08基本不等式的实际问题 【例15】如图，某灯光设计公司生产一种长方形线路板，长方形的周长为4，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时用电最少，则用电最少时，的长度为（    ）    A． B． C． D． 【例16】通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. (1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ (2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【变