中考大题04 三角形的证明与计算问题（5题型+必刷大题）-2024年中考数学二轮复习讲练测（全国通用）

大题04 三角形的证明与计算问题 在中考中，涉及三角形压轴题的相关题目单独出题的可能性还是比较大的，且三角形结合其它几何图形、函数出成压轴题的几率特别大，所占分值也是比较多，其中一线三等角与手拉手模型较为常见，属于是中考必考的中等偏上难度的考点. 题型一： 三角形角度计算的常考模型 1．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 三角形中角度计算的6种常考模型： A字模型 8字模型 飞镖模型 老鹰抓小鸡模型（一） ∠1+∠2=∠A+180° ∠A+∠B=∠C+∠D ∠C=∠A+∠B+∠D ∠A+∠O=∠1+∠2 老鹰抓小鸡模型（二） 双角平分线模型（一） 双角平分线模型（二） 双角平分线模型（三） ∠A+∠O=∠2-∠1 ∠D=90°+∠A ∠D=90°- ∠A ∠E=∠A 三角形折叠模型（一） 三角形折叠模型（二） 三角形折叠模型（三） ∠2=2∠C 2∠C=∠1+∠2或 ∠C=（∠1+∠2） 2∠C=∠2-∠1或 ∠C=（∠2-∠1） 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究： 在中，已知，． (1)如图，若为上一点．连接，将沿着进行翻折后得到，若，求的大小； (2)如图，将沿翻折得到，探究，之间的数量关系并说明理由． (3)如图，若为直线上的动点，连接，将沿进行翻折后得到，连接．若中存在的内角，则的度数为______． 2．（2023内江六中二模）如图①，在中，与的平分线相交于点P．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，作外角，的角平分线交于点Q，试探索、之间的数量关系． (3)如图③，延长线段、交于点E，中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求的度数． 3．（2023·山西太原·二模）如图，在凹四边形中，，，，求的度数．    下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线AC； 方法二：延长BC交AD于点E； 方法三：连接BD． 请选择上述一种方法，求的度数． 题型二： 全等三角形的常考模型 1．（2023·贵州·中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．    (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 2．（2023·黑龙江·中考真题）如图①，和是等边三角形，连接，点F，G，H分别是和的中点，连接．易证：． 若和都是等腰直角三角形，且，如图②：若和都是等腰三角形，且，如图③：其他条件不变，判断和之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．    3．（2024沈阳大东区一模）【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围．    【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，且，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是______． ① ② ③ ④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，求证：． （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是______． 全等三角形的常考模型： 一线三等角模型 ∆ABD≌∆BCE，DE=AD+EC ∆ABD≌∆BCE，DE=AD-EC ∆ADB≌∆DEC ∆ABC≌∆DBE 一线三等角模型 （同侧）已知∠A=∠CPD=∠B=∠α，CP=PD （异侧）已知∠EAC=∠ABD=∠DPC=∠α，CP=PD 【手拉手模型】 解题步骤：①找共用顶点，确定“四只手”； ②连接对应端点； ③SAS证明全等. 【倍长中线模型】 【平行线中