8.3向量的正交分解、线性运算的坐标表示（第2-3课时）（教学课件）-2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2023-2024学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.3向量的正交分解、线性运算的坐标表示（第2-3课时） 学习目标 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示．(难点) 2.理解向量坐标的概念，掌握两个向量和、差的坐标运算法则．(重点) 3.向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系．(易混点) 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2. 复习引入 e1 e2 a e1 e2 a O 2 向量的正交分解与坐标表示 把向量写成所在平面上两个不平行向量与 的线性组合的过程称为关于与 的分解 decomposition我们特别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况，即在⊥情况下进行向量的分解．这种分解称为向量的正交分解（orthogonaldecomposition） 物理中常常将力进行正交分解，就是向量正交分解的一个常见的应用．如图８-３-５，将斜面上物体的重力分解为沿斜面的下滑力和垂直于斜面的正压力 新课讲解 在平面直角坐标系中任意一个向量关于 x 与 y 正方向上的单位向量 与 的分解 就是一个正交分解．这个正交分解称为向量 在这个平面直角坐标系中的坐标分解（coordinate decomposition），而有序实数对（x，y）则称为向量的坐标（ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ），并直接表示成. 向量的这种表示法称为它的坐标表示（coordinaterepresentation），并可以直接用向量的坐标（x，y）代表一个向量． 必须注意，在向量 的坐标表示中，我们先要作出从坐标原点 O 出发的向量 才能用点A 的坐标（x，y）表示向量的坐标．为此，我们把向量 称为的位置向量（positionvector）．位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标． 例２ 如图８-３-６，写出向量与 的坐标． 解 因为的位置向量都是 ，所以= 因为的位置向量是，所以 设（x１，y１）、（x２，y２）与（x，y）均是坐标表示的向量，λ是一个实数，则 这就是说：向量相加（减），可化为把它们的对应坐标相加（减）；一个向量乘一个实数，可化为把它的坐标乘这个实数． 这些公式的证明是容易的： 3 向量线性运算的坐标表示 有了向量的坐标表示后，向量的运算可以转化为其坐标的相应运算 例３ 给定向量=（4，-1）与=（5，2） ，求向量的坐标． 解 因为 所以 向量的模在坐标表示下也是容易计算的：设 ，则 . 这是因为是以｜x｜和｜y｜为直角边的直角三角形的斜边． 我们已经学过，为了求出一个向量的坐标，先要作出它从坐标原点O 出发的位置向量，才能从位置向量终点的坐标得到这个向量的坐标．我们希望能从任意向量的起点坐标和终点坐标直接得出向量的坐标． 于是，对平面上的任意两点P（x１，y１）与 Q（x２，y２），我们要求向量的坐标． 由 得 因此，一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去它的起点坐标 例４ 平面上A、B、C三点的坐标分别为（2,1）、（－3,2）、（－1,3）， 写出向量的坐标 解 例５ 已知平面上两点P、Q 的坐标分别为（－2,4）、（2,1），求 的单位向量的坐标 　 练习８．３（２） １．已知向量求 的坐标及 ２．求向量 ＝（３，－４）的单位向量的坐标． 课本练习 ３．已知平面上A、B、C三点的坐标分别为（0,1）、（1，2）、（3，4）， 求 的坐标，并证明A、B、C三点共线． 解：平面上A、B、C三点的坐标分别为(0,1)(1,2)、(3,4), 1．在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求a＋b，ab的坐标： （1）a＝（－2，4），b＝（5，2）； （2）a＝（4，3），b＝（－3，8）； （3）a＝（2，3），b＝（－2，－3）； （4）a＝（3，0），b＝（0，4）． （3，6） （-7，2） （1，11） （7，-5） （0，0） （4，6） （3，4） （3，-4） 随堂检测 2．在下列各小题中，已知A、B两点的坐标，分别求 ， 的坐标： （1）A（3，5），B（6，9）； （2）A（－3，4），B（6，3） ； （3）A （0，3）， B（0，5）； （4）A （3，0）， B（8，0）． （3，4） （-3，-4） （9，-1） （-9，1） （0，2） （0，-2） （5，0） （-5，0） 3．若点A(0,1)