8.3向量的正交分解、线性运算的坐标表示（第2～3课时）（教学课件）-2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

2022-2023学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册） 第 8 章 平面向量 8.3 向量的正交分解、线性运算的坐标表示（第2.3课时） 1 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2. 复习引入 e1 e2 a e1 e2 a O 2 向量的正交分解与坐标表示 把向量 写成所在平面上两个不平行向量 与 的线性组 合的过程称为 关于 与 的分解 ．我们特 别关注向量关于两个互相垂直的向量的分解这一特殊而实用的情况， 即在 ⊥ 情况下进行向量的分解．这种分解称为向量的正交分 解（orthogonaldecomposition） 物理中常常将力进行正交分解，就是向量正交分解的一个常 见的应用．如图８-３-５，将斜面上物体的重力分解为沿斜面的下 滑力和垂直于斜面的正压力 在平面直角坐标系中任意一个向量 关于 x 与 y 正方向 上的单位向量 与 的分解 就是一个正交分解．这个 正交分解称为向量 在这个平面直角坐标系中的坐标分解 （coordinate decomposition），而有序实数对（x，y）则称为向量 的坐标（ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓ），并直接表示成 向量的这种表示法称为它的坐标表示（coordinaterepresentation）， 并可以直接用向量的坐标（x，y）代表一个向量． 必须注意，在向量 的坐标表示中，我们先要作出从坐标原 点 O 出发的向量 ， 才能用点A 的坐标（x，y）表示向量 的坐标．为此，我们把向量 称为 的位置向量（position vector）．位置向量终点的坐标才是所给向量的坐标． 例２ 如图８-３-６，写出向量 与 的坐标． 解 因为 与 的位置向量都是 ，所以 ； 因为 的位置向量是 ，所以 3 向量线性运算的坐标表示 有了向量的坐标表示后，向量的运算可以转化为其坐标的相 应运算 设（x１，y１）、（x２，y２）与（x，y）均是坐标表示的向量，λ是一 个实数，则 这就是说：向量相加（减），可化为把它们的对应坐标相加 （减）；一个向量乘一个实数，可化为把它的坐标乘这个实数． 这些公式的证明是容易的： 因为 所以 　 例３ 给定向量 求向量 的坐标． 解 因为 所以 向量的模在坐标表示下也是容易计算的：设 ，则 这是因为｜ ｜是以｜x｜和｜y｜为直角边的直角三角形的斜边． 我们已经学过，为了求出一个向量的坐标，先要作出它从 坐标原点O 出发的位置向量，才能从位置向量终点的坐标得到 这个向量的坐标．我们希望能从任意向量的起点坐标和终点坐 标直接得出向量的坐标． 于是，对平面上的任意两点P（x１，y１）与 Q（x２，y２），我们 要求向量 的坐标． 由 得 因此，一个向量的坐标等于这个向量的终点坐标减去它的起 点坐标 例４ 平面上A、B、C三点的坐标分别为（2,1）、（－3,2）、 （－1,3），写出向量 的坐标 解 例５ 已知平面上两点P、Q 的坐标分别为（－2,4）、 （2,1），求 的单位向量 的坐标 解 因为 所以　 课本练习 练习８．３（２） １．已知向量