精品解析：吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题

长春市2024届高三质量监测（三） 数学 本试卷共5页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过，，三个点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（ ）（结果取整数，参考数据：） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知复数满足，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7 已知随机事件，满足，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 满足 C. 在区间的值域为 D. 区间上有3个极值点 10. 设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是（ ） A. 0<q<1 B. a7a9<1 C. Tn最大值为T7 D. Sn的最大值为S7 11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B. 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为 C. 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，且，则______． 13. 直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是______． 14. 有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为，已知，角的平分线交边于点，且. （1）求角的大小； （2）若，求的面积. 16. 已知函数． （1）当时，求在处的切线方程； （2）当时，求的单调区间和极值； （3）若对任意，有恒成立，求的取值范围． 17. 已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． （1）求双曲线C的标准方程； （2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 18. 正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中． （1）求证； （2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上