2022年安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学自主招生数学试卷

2022年安徽师范大学附属中学自主招生数学试卷 一.选择题（本大题6小题，每小题5分，共30分）在每个小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。 1．（5分）如图，它是由六个面积为1的正方形组成的矩形，其中有A，B，C，D，E，F，则以这七个点为顶点能组成面积为1的三角形的个数是（　　） A．7 B．9 C．10 D．14 2．（5分）若关于x的方程||x﹣2|﹣1|＝a有三个整数解，则a的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（5分）如图，点D在半圆上，直径AB＝10，点C在弧BD上移动，连结AC，点C在移动的过程中，BH的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．（5分）对于任何实数a，关于x方程x2﹣2ax﹣a+2b＝0都有实数根，则实数b的取值范围是（　　） A．b≤0 B．b≤ C．b≤﹣1 D．b≤ 5．（5分）已知等式成立，则x，y（　　） A．0，1 B．0，1，2 C．1 D．0 6．（5分）一条直线平分三角形的周长和面积，那么该直线必通过三角形的（　　） A．重心 B．垂心 C．外心 D．内心 二.填空题（本大题9小题，每小题5分，共45分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡的相应位置上。 7．（5分）已知α是方程x2﹣5x+1＝0的一个根，那么α2+α﹣2＝　 　． 8．（5分）如图所示，边长为1和边长为3的两个正方形内接于圆，则此圆的半径为 　 　． 9．（5分）化简根式＝　 　． 10．（5分）如果关于x的不等式（2a﹣b）x+a﹣5b＞0的解集为，则关于x的不等式ax＞b的解集为　 　． 11．（5分）如图所示，四边形ABCD，AECF都是矩形，BC＝11，AF＝7，则两个矩形重叠的阴影部分面积为 　 　． 12．（5分）如图，△P1OA1，△P2A1A2，…，△PnAn﹣1An是等腰直角三角形，点P1，P2，…，Pn在函数的图象上，斜边OA1，A1A2，…，An﹣1An都在x轴上，则点An的坐标是 　 　． 13．（5分）对于某一自变量为x的函数，若当x＝x0时，其函数值也为x0，则称点（x0，x0）为此函数的不动点，若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，b应满足的条件为 　 　． 14．（5分）如图所示，已知l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为2，l2与l3的距离为1，正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则AB＝　 　． 15．（5分）甲、乙、丙三人做游戏：他们在三张卡片上写三个整数m，n，k（0＜m＜n＜k）每人每次摸一张卡片，并按卡片上写的数字取等量的石子（如卡片上写m就取m粒石子），然后再继续进行，当他们进行了N（N≥2），甲得20粒石子，乙得10粒石子，并且知道最后一次乙摸的k，则第一次摸n的是 　 　． 三、解答题：本大题共7题，满分75分。请在答题卷相应位置上写出必要的推理计算过程。 16．（7分）如图，已知平行四边形ABCD，AM⊥BC于M，证明△ABC∽△MAN． 17．（8分）求方程x2﹣y2+2y﹣61＝0的正整数解． 18．（12分）如图，直线AB，AC分别切圆O于B，P为弧BC上任意一点，PD⊥BC，PF⊥AB，求证：PD2＝PE•PF． 19．（12分）实践与探究 操作一：如图（1）有正方形纸片ABCD，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，再将纸片沿过A的直线折叠，使AD与AM重合．则可得到很多有趣的性质，可得E，M，F三点共线　 　度． 探究一：如图（2）保持∠EAF的大小不变，使角的一边交BC于点E，连结EF，探究BE，EF满足的数量关系为：　 　．请证明． 探究二：如图（3），过E，F分别作与边平行的线段EP，两线段相交于点H，如果正方形的边长BC＝3，试求长方形EHFC与长方形QAPH的面积之比． 探究三：如图（3），EP，FQ是与边平行的线段，矩形EHFC与QAPH的面积之比不变，是否有∠EAF也保持不变？请证明你的结论． 20．（12分）对a＞b＞c＞0，作二次方程x2﹣（a+b+c）x+ab+bc+ca＝0． （1）若方程有实根，求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； （2）若方程有实根x0，求证：a＞x0＞b+c； （3）当方程有实根6，9时，求正整数a，b 21．（12分）如图（1）所示，抛物线y＝ax2+bx+c，经过A（1，0），B（4，0），C（0，2）三点． （1）求该抛物线的解析式． （2）在抛物线上