广西桂林市临桂区第三中学2024届高三下学期4月月考数学试卷

桂林市临桂区第三中学高三年级4月月考数学试卷 一、单选题 1．一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如果椭圆的离心率为，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．在等差数列中，，则数列的前19项之和为（    ） A．98 B．95 C．93 D．90 4．设、表示两条直线，、表示两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（    ） A．24 B．48 C．60 D．72 6．若动点在上移动，则点与点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，圆与的一条渐近线的一个交点为.若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于函数,下列选项错误的有（   ） A．函数最小正周期为 B．表达式可写成 C．函数在上单调递增 D．的图像关于直线对称 10．若为复数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，对任意实数，满足：．且，当时，．则下列选项正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．为上的减函数 三、填空题 12．已知集合，，若满足，则实数a的值为 ． 13．已知一个球的表面上有四点，平面⊥平面,则该球的表面积为 . 14．已知，且，则的最小值为 ． 四、解答题 15．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)求的值和函数的解析式； (2)求函数的单调区间和极值． 16．现有6道题，其中4道甲类题，2道乙类题，张同学从中任取2道题解答，试求： (1)所取的2道题都是甲类题的概率； (2)设所取的2道题乙类题道数为X，求X的分布列和数学期望. 17．已知四棱锥，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，为的中点． (Ⅰ)证明：∥平面； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值． 18．已知抛物线C：上有一动点，，过点P作抛物线C的切线交y轴于点Q． (1)判断线段PQ的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由； (2)过点P作的垂线交抛物线C于另一点M，若切线的斜率为k，设的面积为S，求的最小值． 19．数列满足：.记的前项和为，并规定.定义集合. (1)对数列：，0.7，，0.9，0.1，求集合； (2)若集合，证明：. (3)给定正整数，对所有满足的数列，求集合的元素个数的最小值. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据中位数定义确定数据中的中位数即可. 【详解】由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值. 故选：C 2．B 【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可． 【详解】解：因为椭圆的离心率为， 当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得， 当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得． 或. 故选：B． 3．B 【分析】根据等差数列性质分析运算. 【详解】设等差数列的前n项和为， 由题意可得：，可得， 所以. 故选：B. 4．D 【分析】由直线与平面平行分析直线与平面内直线的关系判断A；由直线与直线平行分析线面关系判断B；由直线与平面平行、平面与平面垂直分析线面关系判断C；由线面平行的性质及平面与平面垂直的判定判断D． 【详解】若，，则或与异面，故A错误； 若，，则或，故B错误； 若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故C错误； 若，过的平面与相交，设交线为，则，又，则，而，则，故D正确． 故选：D． 5．B 【分析】先考虑个位数的排法，再考虑其余位置的元素的排法，利用乘法原理可得所求的偶数的个数. 【详解】个位数只能为2或4，因此个位数有2种排法， 其余4个位置可排余下4个不同的元素，共有种排法， 由乘法原理可得共有不同的偶数的个数为种. 故选：B. 【点睛】本题考虑排列的应用，对于排数问题，注意特殊元素、特殊位置优先考虑，本题属于基础题. 6．A 【分析】设PQ的中点为，根据中点坐标公式可得，表示出点P的坐标，代入曲线方程即可求解. 【详解】设PQ的中点为， 则，解得， 即，又点P在曲线上， 所以，即， 所以PQ的中点的轨迹方程为. 故选：A 7．C 【分析】将式子化为，即可求得，再由正切的二倍角公式，即可得到结果. 【详解】由可得，，解得， 则. 故选：C 8．B 【分析】结合双曲线的性质，结合三角形中余弦定理构造齐次式，可得双曲线的离心率. 【详解】 如图所示，由已知得，，， 且，