盈亏问题（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学人教版

盈亏问题 【知识综述】 在我们的日常生活中，常常有这样一类问题：已知两个分配方案，一种分配有余，另一种分配不足，求参加分配的数及被分配的总量。这类分配过程中出现剩余（盈）和不足（亏）问题的应用题叫做盈亏问题。 解盈亏问题的关键是比较两种方案的差别，具体步骤如下：1、根据方案求出参与分配者两次分得物品数量之差。2、根据结果求出两次分配的物品总数之差。3、根据总差中包含个体差的个数，求出参加分配的数。 解盈亏问题，通常利用比较法求解。盈亏问题的数量关系一般是： 一盈一亏：（盈+亏）÷两次分配差=份数 两盈：（大盈—小盈）÷两次分配差=份数 两亏：（大亏—小亏）÷两次分配差=份数 每次分的数量×份数—亏=总数量 每次分的数量×份数+盈=总数量 【典型例题1】 童心幼儿园的小朋友们分苹果，如果每人分4个，则多9个；如果每人分5个，则少6个。有多少个小朋友分苹果？有多少个苹果？ （名师导航）由题意可知，不论如何分配，人数和苹果总数是不会改变的。比较两种分配方案，第一种方案和第二种方案中苹果数一多一少相差9+6=15（个），也就是说第二种方案比第一种方案多15个。相差的原因在于第二种方案比第一种方案每人多分了1个苹果，每人相差1个苹果，那么多少人就会相差15个苹果呢？由此可求出人数。 解：小朋友人数： （9+6）÷（5-4）=15（个） 苹果个数：4×15+9=69（个） 答：有15个小朋友，有69个苹果。 （温馨提示）（盈+亏）÷两次分配差=份数，在此题中就是要求的人数。 小试身手： 1、幼儿园阿姨给小朋友分梨，如果每人分3个则多12个；如果每人分5个则少6个。有多少个小朋友？有多少个梨？ 2、一个植树小组植树，如果每人栽5棵，还剩14棵；如果每人栽7棵，就缺4棵。这个小组有多少人？一共植树多少棵？ 3、四（1）的少先队员参加搬砖劳动，如果每人搬4块还剩7块；如果每人搬5块则少2块。这个班有几名少先队员？砖共有多少块？ 【典型例题2】 同学们栽树，如果每人栽3棵，则多10棵；如果每人栽4棵，则多2棵。有多少名同学？一共有多少棵树？ （名师导航）列出已知条件：每人栽3棵，多10棵，每人栽4棵，多2棵。这是两盈的问题，由题意可知，栽树的人数和树的棵数是不变的。比较两种分配方案，结果相差10-2=8（棵），这是因为两种分配方案每人栽的棵数相差4-3=1（棵）。所以有8÷1=8（名）同学，一共有3×8+10=34（棵）树 解：同学人数： （10-2）÷（4-3）=8（名） 树的棵数： 3×8+10=34（棵） 或4×8+2=34（棵） 答：有8名同学，一共有34棵树。 （大盈—小盈）÷两次分配差=份数，一此题中即是要求的学生人数。 小试身手： 1、王阿姨给小朋友分苹果，如果每人分5个苹果，则多14个苹果；如果每人分6个苹果，则多4个苹果。那么王阿姨买了多少个苹果？分给了几个小朋友？ 2、周老师给美术小组的同学分图画纸，如果每人分5张则多23张，如果每人分7张则多7张。美术小组有多少个学生？周老师有多少张图画纸？ 3、解放军战士分子弹，如果每人分45发，还多260发；如果每人分50发，还多200发。解放军战士有多少人？共有多少发子弹？ 【典型例题3】 李老师将一批练习本发给班上的学生。如果每人发6本，则少94本；如果每人发4本，则少2本。有多少个学生？有几本练习本？ （名师导航）两次分配，第一次比第二次多分94-2=92（本）。之所以多分92本，是因为第一次比第二次每人多分6-4=2（本），多少人可以多分92本呢？即92÷2=46（人）。进而可求出练习本的本数。 解：学生人数： （94-2）÷（6-4）=46（个） 练习本本数： 6×46-94=182（本） 或4×46-2=182（本） 答：有46个学生，有182本练习本。 温馨提示（大亏—小亏）÷两次分配差=份数，即有多少个学生。 小试身手： 1、学校买来一批图书，如果每人发9本则少25本；如果每人发6本则少7本。有多少个学生？买了多少本图书？ 2、张老师给“五好学生”发奖品，如果每人发5支向笔，则少32支；如果每人发3支，则少2支。共有多少名“五好学生”？张老师一共有多少支铅笔？ 3、课外小组的同学做数学题，如果每人做6道则少4道；如果每人做7道则少19道。有多少个同学？要做多少道题？ 【典型例题4】 自行车厂生产一批自行车，如果每天生产50辆，要比原计划晚8天完成；如果每天生产60辆，就可以提前5天完成。原计划多少天完成任务？这批自行车共有多少辆？ （名师导航）根据题意，计划生产的天数和自行车的数量是不变的。“每天生产”50辆，要比原计划晚8天完成“可转化为”“每天生产50辆，则有50×8=400（辆）未生产；”每天生产60辆，就可以提前5天完成“可转化为每天生产